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1、广东省东莞市虎门中学2024届高考数学试题一模考试试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD2已知等差数列的前13项和为52
2、，则（ ）A256B-256C32D-323已知数列的通项公式是，则（ ）A0B55C66D784已知函，则的最小值为（ ）AB1C0D5已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确的是（ ）ABCD6已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（ ）A3BCD7若平面向量，满足，则的最大值为（ ）ABCD8如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（ ）ABCD9下列函数中，值域为的偶函数是（ ）ABCD10如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B与去年同期相比，该年
3、第一季度的GDP总量实现了增长C该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元11已知向量，且与的夹角为，则（ ）AB1C或1D或912若，则的值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则_.14在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_.15我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上
4、面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，则的面积为_16数据的标准差为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.（1）求的值及该圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.18（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）.（）讨论函数极值点的个数；（）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围.1
5、9（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，且两人健身时间都不会超过3小时.（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学
6、期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.20（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.21（12分）求函数的最大值22（10分）已知函数（1）若函数在处取得极值1，证明：（2）若恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.【题目详解】由题意知，抛物线焦点，准线与x轴交点，双曲
7、线半焦距，设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，所以抛物线的准线，从而轴，所以， 即故双曲线的离心率为故选A【题目点拨】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.2A【解题分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【题目详解】由，得.选A.【题目点拨】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.3D【解题分析】先分为奇数和偶数两种情况计算出的值，可进一步得到数列的通项公式，然后代入转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【题目详解】解：由题意得，当为奇数
8、时，当为偶数时， 所以当为奇数时，；当为偶数时，所以 故选：D【题目点拨】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.4B【解题分析】，利用整体换元法求最小值.【题目详解】由已知，又，故当，即时，.故选：B.【题目点拨】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.5D【解题分析】根据面面垂直的判定定理可判断；根据空间面面平行的判定定理可判断；根据线面平行的判定定理可判断；根据面面垂直的判定定理可判断.【题目详解】对于，若，两平面相交，但不一定垂直，故错误；对于，若，则，故正确；对于，若，当，则与不平行
9、，故错误；对于，若，则，故正确；故选：D【题目点拨】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.6D【解题分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.【题目详解】由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，一条渐近线的倾斜角为，解得：.故选：.【题目点拨】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.7C【解题分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【题目详解】由题意可得：，故选：C【题目点
10、拨】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.8B【解题分析】变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.【题目详解】解：依题： ，又三点共线，解得故选：【题目点拨】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程： 三点共线 (为平面内任一点,)9C【解题分析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C
11、中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域10D【解题分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【题目详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【题目点拨】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.11C【解题分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【题目详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【题目点拨】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础
12、题12A【解题分析】取，得到，取，则，计算得到答案.【题目详解】取，得到；取，则.故.故选：.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】试题分析：由坐标系可知考点：复数运算14【解题分析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【题目详解】在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接.由，得，由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,又由已知可
13、得平面平面，平面，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：【题目点拨】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.15.【解题分析】利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.【题目详解】，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.【题目点拨】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.16【解题分析】先计算平均数再求解方差与标准差即可.【题目详解】解：样本的
14、平均数, 这组数据的方差是 标准差,故答案为：【题目点拨】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），圆的方程为：.（2）答案见解析【解题分析】（1）根据题意，可知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，利用向量的数量积为0，即可证出.【题目详解】解：（1）易知点的坐标为，所以，解得.又圆的圆心为，所以圆的方程为.（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，代入的方程，得.令，得，所以，解得.将代入的方程，得，即点的坐标为.所以，.故.【题目点拨】本题考查抛物
