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1、立体几何1.（江苏2004年5分）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】C。【考点】球的体积。【分析】利用条件：球心到这个平面的距离是4cm、截面圆的半径、球的半径、求出球的半径，然后求出球的体积：一平面截一球得到直径是6cm的圆面，就是小圆的直径为6，又球心到这个平面的距离是4cm，球的半径是：5cm。球的体积是：（cm3）。故选C。2.（江苏2005年5分）在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为【 】A B C D【答案】B。【考点】棱柱的结构特征，点到平面的距离。【分析】过点A作ADBC于点D
2、，连接A1D，过点A作AD面A1BC于点E，则点E在A1D上，AE即为点A到平面的距离。 在RtACD中，AC=2，CD=1，AD=。 在RtA1DA中，AD=，tanA1DA=。A1DA=300。 在RtADE中，AE=ADsin300=。故选B。3.（江苏2005年5分）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是 【 】A1 B2 C3 D4【答案】B。【考点】平面与平面之间的位置关系，空中间直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系。【分析】由空间中面面平面关系的判定方法，线面平等的判定方法及线面平行的性质定
3、理，逐一对四个答案进行分析，即可得到答案：若，则与可能平行也可能相交，故错误；由于m，n不一定相交，故不一定成立，故错误；由面面平行的性质定理，易得正确；由线面平行的性质定理，我们易得正确。故选B。4.（江苏2006年5分）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有【 】（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个【答案】D。【考点】正四棱锥的体积。【分析】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一
4、半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积.问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，易知无穷多个。故选D。5.（江苏2007年5分）正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为，则点A到侧面PBC的距离是.【答案】。【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角。【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段。如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，则PO平面AB
5、C，PO=2，且O是三角形ABC的中心。BCAM，BCPO，POAM=O。BC平面APM。又BC平面ABC，平面ABC平面APM。又平面ABC平面APM=PM，A到侧面PBC的距离即为APM中PM边上的高。设底面边长为，则AM=，由侧棱与底面所成角为和PO=2，得，。设侧棱为，则等腰直角三角形的性质，得。则在RtPBC中，BM=，PB=，由勾股定理，得PM=。由面积法得A到侧面PBC的距离 。6.（江苏2009年5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【答案】1：8。【考点】类比的方法。【
6、分析】在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：22，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：23。7.（江苏2009年5分）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：学科网（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.学科网【答案】(1)(2)。【考点】立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。【分析】由面面平行的判定定
7、理可知，（1）正确；由线面平行的判定定理可知，（2）正确；对于（3）来说，内直线只垂直于和的交线，得不到其是的垂线，故也得不出；对于（4）来说，只有和内的两条相交直线垂直，才能得到，也就是说当垂直于内的两条平行直线的话，不一定垂直于。8. （2012年江苏省5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。9、（2013江苏卷8）8如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 。答案： 8 1.（江苏2004年12分）在棱长为4的正方体A
8、BCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；B1PACDA1C1D1BOH()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.【答案】解：（I）连接BP。AB平面BCC1B1，AP与平面BCC1B1所成的角就是APB。CC1=4CP，CC1=4，CP=1。在RtPBC中，PCB为直角，BC=4，CP=1，BP=。在RtAPB中，ABP为直角，tanAPB=，APB=。()证明：由已知OH面APD1，OHAP。连接B1D1，由于O是上
9、底面的中心，故OB1D1。由正方体的性质知B1D1面AA1C1C，又AP面AA1C1C，B1D1AP。又B1D1OH=O，AP面D1OH。D1HAP。() 点P到平面ABD1的距离，即点P到平面ABC1D1的距离，连接BC1，过点P作PQBC1于点Q， 则PQ即为点P到平面ABD1的距离。C1P=3，BC=4，BC1=，由C1PQC1BC，得，即。，即点P到面ABD1的距离为。【考点】直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算。【分析】（）由题设条件，连接BP，即可得出AP与平面BCC1B1所成的角为PAC，由勾股定理求出BP，即可求出tanAPB，从而求得APB。（）要证D1HAP，只要证A
10、P垂直于D1H所在的平面D1OH。一方面OHAP，另一方面B1D1AP。从而得证。（）连接BC1，过点P作PQBC1于点Q， 则PQ即为点P到平面ABD1的距离。由勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出PQ，即点P到平面ABD1的距离。2.（江苏2005年14分）如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；（4分）证明：BC平面SAB；（4分）用反三角函数值表示二面角BSCD的大小（本小问不必写出解答过程）（4分）【答案】解：连接BE，延长BC、ED交于点F，则DCF=CDF=600，CDF为正三角形，CF=DF
11、。又BC=DE，BF=EF。BFE为正三角形。FBE=FCD=600。BE/CD。SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角。SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=。同理SE=。又BAE=1200，BE=。cosSBE=。SBE=arccos。异面直线CD与SB所成的角是arccos。由题意，ABE为等腰三角形，BAE=1200，ABE=300。又FBE =600，ABC=900。BCBA。SA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A。BC平面SAB。二面角B-SC-D的大小。【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】（1）连接BE，延长BC、ED交于点
12、F，根据线面所成角的定义可知SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角，然后在三角形SBE中求出此角即可。（2）欲证BC平面SAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面SAB内两相交直线垂直，而BCBA，SABC，又SABA=A，满足定理所需条件。（3）二面角，可利用空间向量法求解更方便。3.（江苏2006年14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（4分）（）求直线A1E与平面A1B
13、P所成角的大小；（5分）（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）（5分）图1图2【答案】解：不妨设正三角形ABC的边长为3。 （）证：在图1中，取BE中点D，连结DF，则AE：EB=CF：FA=1：2。AF=AD=2。而A=600 ，ADF是正三角形。又AE=DE=1，EFAD。在图2中，A1EEF，BEEF, A1EB为二面角A1EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE，又，A1E平面BEF，即A1E平面BEP。（）在图2中，A1E不垂直A1B，A1E是平面A1BP的垂线。又A1E平面BEP，A1EBE。从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理
14、）。设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q。则E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=EP=2而EBP=600 ，EBP是等边三角形。又 A1E平面BEP ，A1B=A1P,，Q为BP的中点，且。又A1E=1，在RtA1EQ中，EA1Q=60o。直线A1E与平面A1BP所成的角为600。（）在图3中，过F作FM A1P于M，连结QM，QF。CP=CF=1，C=600,FCP是正三角形。PF=1。有，PF=PQ。A1E平面BEP， ，A1E=A1Q。A1FPA1QPA1PF=A1PQ。 由及MP为公共边知FMPQMP，QMP=FMP=90o，且MF=MQ。 FMQ为二面角BA1P
