《专题 极值点偏移问题（课件）-高三数学二轮专题复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题 极值点偏移问题（课件）-高三数学二轮专题复习（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 极值点偏移问题 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.对称化构造函数 方法一 (2022全国甲卷)已知函数f(x)ln xxa.(1)若f(x)0，求a的取值范围；例1由题意知函数f(x)的定义域为(0，).可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)e1a.又f(x)0，所以e1a0，解得ae1，所以a的取值范围为(，e1.(2)证明：若f(
2、x)有两个零点x1，x2，则x1x21.方法一不妨设x10)，则g(x)ex1所以当x(0,1)时，g(x)0，所以当x(0,1)时，g(x)0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以F(x)F(1)，由(1)可知，函数f(x)在(1，)上单调递增，得 ln x1x1 ln x2x2，即 x1ln x1 x2ln x2.方法二(同构法构造函数化解等式)不妨设x10)，所以函数g(x)在(0，)上单调递增，所以当x1时，g(x)g(1)0，所以h(x)在(0,1)上单调递减，极值点偏移问题的解法1.(对称化构造法)构造辅助函数：（1）对结论 型，构造函数（2）对结论 型，构造函数通过研究F(x
3、)的单调性获得不等式2(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明(1)求f(x)的极值和单调区间；练1令f(x)0得x2，令f(x)0得0 x2)的两个零点为x1，x2，证明：x1x24.由题意知，g(x1)g(x2).不妨设x1x2，由(1)知，g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增；所以0 x124等价于x24x1，又因为4x12，x22，g(x)在(2，)上单调递增，因此证明不等式等价于证明g(x2)g(4x1)，即证明g(x1)g(4x1)，所以h(x)在(0,2)上单调递减，所以h(x)h(2)1ln 21ln 2
4、0，比值代换 方法二 (2022六安模拟)已知函数f(x)xln xax2x(aR).若f(x)有两个零点x1，x2，且x22x1，证明：例2若f(x)有两个零点x1，x2，因为x22x10，令x2tx1(t2)，所以ln(x1x2)ln x1ln x2则h(t)在(2，)上单调递增，比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t 化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.规律方法 (2022湖北圆创联考)已知f(x)x22aln x，aR.若yf(x)有两个零点x1，x2(x10，(2)若x0是yf(x)的极值点，求证：x13x24x0.由a0，t1，只需证(3t1)2ln t8
5、t280，令h(t)(3t1)2ln t8t28，故n(t)在(1，)上单调递增，n(t)n(1)0，故h(t)在(1，)上单调递增，h(t)h(1)0，所以x13x24x0.专题强化练 1.(2022佛山质检)已知a是实数，函数f(x)aln xx.(1)讨论f(x)的单调性；1212f(x)的定义域为(0，)，当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得x(0，a)；令f(x)0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减.(2)若f(x)有两个相异的零点x1，x2且x1x20，求证：x1x2e2.1212由(1)可知，要想f(x)有两个相异的零点x1，x2，则a0，因为f(x1)
6、f(x2)0，所以aln x1x10，aln x2x20，所以x1x2a(ln x1ln x2)，要证x1x2e2，即证ln x1ln x22，1212所以g(t)在(1，)上单调递增，所以x1x2e2，结论得证.2.(2021新高考全国)已知函数f(x)x(1ln x).(1)讨论f(x)的单调性；1212因为f(x)x(1ln x)，所以f(x)的定义域为(0，)，当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减.1212由题意知，a，b是两个不相等的正数，且bln aaln bab，由(1)知f(x)在(0,1)上单调
7、递增，在(1，)上单调递减，且当0 x0，当xe时，f(x)0，不妨设x1x2，则0 x11x22，要证x1x22，即证x22x1，因为0 x11x22x11，又f(x)在(1，)上单调递减，所以即证f(x2)f(2x1)，又f(x1)f(x2)，所以即证f(x1)f(2x1)，即证当x(0,1)时，f(x)f(2x)0.12构造函数F(x)f(x)f(2x)，则F(x)f(x)f(2x)ln xln(2x)lnx(2x)，当0 x1时，x(2x)0，即当0 x0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以当0 x1时，F(x)F(1)0，所以当0 x1时，f(x)f(2x)2成立.再证x1x2x，直线yx与直线ym的交点坐标为(m，m)，则x1m.欲证x1x2e，即证x1x2mx2f(x2)x2e，即证当1xe时，f(x)xe.构造函数h(x)f(x)x，则h(x)1ln x，12当1x0，所以函数h(x)在(1，e)上单调递增，所以当1xe时，h(x)h(e)f(e)ee，即f(x)xe成立，所以x1x2e成立.
