《第77讲 排列组合21种解题策略（解析版）-高考数学二轮复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第77讲 排列组合21种解题策略（解析版）-高考数学二轮复习（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第77讲 排列组合21种解题策略一、特殊元素和特殊位置优先策略某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先排这个或这几个元素，再排其他的元素（元素代先法）；也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其他的元素（位置化先法）【例1】由0，1，2，3，4，5可以组成 个没有重复数字的五位奇数【答案】288【解析】由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位，共有，然后排首位，共有，最后排其他位置，共有，由分步计数原理可得二、相邻元素捆绑策略要解决某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆法，即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起做排列，同时要注意合并元
2、素内部也必须排列【例2】7人站成一排照相，其中甲、乙相邻且丙、丁相邻，共有 种不同的排法【答案】480【解析】可先将甲、乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时将丙、丁也看成个复合元素，再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得，共有种不同的排法.三、不相邻问题插空策略解决元素相离问题，可先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入中间和两端【例3】一台晚会的节目由4个舞蹈、2个相声和3个独唱组成，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有 种，（用式子表示）【答案】【解析】分两步进行：第一步，排2个相声和3个独唱，共有种；第二步，将4个舞蹈插人第一步排好的5个
3、元素中间，包含首尾两个空位，共有种不同的方法由分步计数原理可得，节目的出场顺序共有种四、定序问题倍缩空位插入策略定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定（可以相邻，也可以不相邻），共有 种不同的排法【答案】840【解析】解法一（倍缩法）：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有种不同排法解法二（空位法）：设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的4人就座，共有种方法，其余的3个位置让甲、乙、丙坐，有1种坐法，则共有种不同的排法解法三（插入法）：先排甲、乙、丙3个人
4、，共有1种排法，再把其余4人依次插入，共有种不同的排法.五、重排问题求幂策略允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置一般地，个不同的元素没有限制地安排在个位置上的排列方法有种【例5】把6名实习生分配到7个车间实习，不同的分法有（ ）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法依此类推，由分步计数原理可得，共有种不同的分法，故选B六、环排问题线排策略一般地，个不同元素做圆形排列，共有种排法如果从个不同元素中取出个元素做圆形排列，共有种排法【例6】8人围桌
5、而坐，共有（ ）A.种坐法 B.种坐法 C.种坐法 D.种坐法【答案】A【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有种坐法，即种坐法七、多排问题直排策略一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究【例7】8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有 种排法（用式子表示）【答案】【解析】人排后两排，相当于人坐8把椅子，可以把椅子排成一排前排甲、乙两个特殊元素有种排法，后排4个位置上的特殊元素丙有种排法，其余的人在个位置上任意排列，有种排法，则共有种排法八、排列组合混合问题先选后排策略解决排列组合混
6、合问题，先选后排是最基本的方法.此方法与相邻元素捆绑策略相似【例8】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 种不同的装法【答案】240【解析】先从5个球中选出2个组成复合元素，共有种方法；再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内，有种方法根据分步计数原理可得，装球的方法共有种九、小集团问题先整体后局部策略解决小集团问题，运用先解决整体排列组合问题，然后再处理局部小集团的策略【例9】用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在1，5两个奇数之间，这样的五位数有 个【答案】8【解析】把1，5，2，4当作一个小集团与3排列，共有种排法，再排小集团内
7、部，共有种排法由分步计数原理可得，共有种排法十、元素相同问题隔板策略将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法【例10】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有 种分配方案【答案】【解析】因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个间隔在9个间隔中选6个位置插隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法，共有种分法十一、正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题，从正面直接考虑比较复杂，而从它的反面考虑，往往比较简捷，可以先求出它的反面结果，再从整体中将其淘汰【例11】从0，1，2，3，
8、4，5，6，7，8，9这10个数字中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 种【答案】【解析】如果直接求结果很困难，可用总体淘汰法这10个数字中有5个偶数5个奇数，所取的3个数含有3个偶数的取法有种，只含有1个偶数的取法有种，和为偶数的取法共有种再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有种十二、平均分组问题除法策略平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以（为均分的组数），避免重复计数【例12】6本不同的书平均分成3堆，每雄2本，共有 种分法【答案】15【解析】分三步取书，有种方法，但这里出现重复计数的现象不妨记6本书为，若第一步取，第二步取，第三步
9、取，该分法记为，则中还有，共有种分法，而这些分法都是一种分法，故共有种分法十三、合理分类与分步策略解含有约束条件的排列组合问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终【例13】一次演唱会上共有10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌、2人伴舞的节目，有多少种选派方法？【答案】【解析】10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员以选唱歌人员为标准进行研究：只会唱歌的5人中没有人选上，有种；只会唱歌的5人中只有1选上，有种；只会唱歌的5人中只有2人选上，有种因此共有种选派方法十四、
10、构造模型策略一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题迎刃而解【例14】马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的盏路灯，现要关掉其中的盏，但不能关掉相邻的盏或盏，也不能关掉两端的盏，满足条件的关灯方法有（ ）A种 B种 C种 D种【答案】C【解析】把此问题当作一个排队模型，在盏亮灯的个空隙中插入个不亮的灯，有种方法，故选C十五、实际操作穷举策略对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往运用穷举法或画出树状图，会收到意想不到的结果【例15】设有编号1，2，3，4，5的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将
11、5个球放入这5个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有 种放法【答案】20【解析】从5个球中取出2个与盒子编号相同的球，有种取法，还剩下3个球与盒子编号不相同如果剩下3，4，5号球和3，4，5号盒子，3号球放在4号盒子里时，则4，5号球只有1种放法，同理3号球放在5号盒子里时，4，5号球也只有1种放法，因此有种放法十六、分解与合成策略分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案【例16】正方体的个顶点可连成 对异面直线【答案】
12、【解析】我们先从个顶点中任取个顶点构成四面体，共有种方法，每一个四面体有对异面直线，正方体的个顶点可连成对异面直线十七、化归策略处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题【例17】人排成方阵，现从中选人，要求这人不在同一行，也不在同一列，不同的选法有 种【答案】【解析】将这个问题转化成人排成方阵，现从中选人，要求这不在同一行，也不在同一列，求有多少种选法这样每行必有人，从其中的一行选取人后，把这个人所在行、列都画掉，如此继续下去，从方阵中选人的方法有种再从阵中选出方阵便可解决问题从方阵中选取行列，有种选法，所以从
13、方阵中选不在同一行，也不在同一列的人，有种选法十八、数字排序问题查字典策略数字排序问题可用查字典法，查字典法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，再根据分类计数原理求出其总数【例18】由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的比大的数？【答案】【解析】个十九、全错位排列构造递推关系策略所谓的递推法就是按照某种标准找出递推关系式，并求出取第一个值（或前几个值）时的各项，然后代入递推关系式，得出所要求的结果用递推法，无论是解答数列问题还是解答排列组合问题，它们有一个相同之处，就是寻找递推关系式【例19】个人原来排成一列，现需重新站队重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那
14、么不同的站队方式共有 种【答案】【解析】我们把人数推广到个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上设满足这样站队的方式有种，我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系第一步：第个人不站在原来的第个位置，有种站法第二步：假设第个人站在第个位置，则第个人的站法又可分为两类，第一类，第个人恰好站在第个位置，则余下的个人有种站法；第二类，第个人不站在第个位置，此时，第个人不站在第个位置，第个人不站在第个位置第个人不站在第个位置，所以有种站法由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式：，显然，再由递推关系有，故共有种站法二十、复杂分类问题表格策略一些复杂的分类选取问题，要满
15、足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表格法，则分类明确，能保证题中需满足的条件，能达到解决问题的效果【例20】有红色、黄色、蓝色的小球各个，分别标有、五个字母，现从中取个，要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？【答案】【解析】按照所取三种颜色的球的个数分类，列表如下：红111223黄123121蓝321211取法故所求有（种）二十一、住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类元素不能重复，把不能重复的元素看作“客”，把能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解【例21】名学生争夺项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 【答案】【解析】因同一学生可以同时夺得项冠军，故学生可重复排列，将名学生看作家“店”，将项冠军看作个“客”，每个“客”有种住宿法，由乘法原理可得共有种
