《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题1.5 空间向量基本定理-重难点题型精讲（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题1.5 空间向量基本定理-重难点题型精讲（原卷版）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1.5 空间向量基本定理-重难点题型精讲1空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量2空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用i，j，k表示(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得axiyjzk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解3证明平行、共线、共面问题(1)
2、对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.4求夹角、证明垂直问题(1)为a，b的夹角，则cos .(2)若a，b是非零向量，则abab0.5求距离(长度)问题 ( )【题型1 空间向量基底的判断】【方法点拨】(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关
3、的判断【例1】（2021秋揭西县期末）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A，B，C，D，【变式1-1】（2021秋贵池区校级期中）已知，是空间的一个基底，若2，2，则下列可以为空间一个基底的是（）A，B，C，D，【变式1-2】（2021秋河北月考）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成一组基底的为（）ABCD【变式1-3】（2021秋朝阳区校级月考）已知是空间的一个基底，若，则（）A是空间的一组基底B是空间的一组基底C是空间的一组基底D与中的任何一个都不能构成空间的一组基底【题型2 空间向量基本定理的应用（表示向量）】【方法点拨
4、】用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间的一个基底，可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量【例2】（2022春梅州期末）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，PNND，设，则向量用为基底表示为（）ABCD【变式2-1】（2021秋石家庄期末）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M是A1D
5、1的中点，点N是CA1上的点，且CN：CA11：4，则向量可表示为（）ABCD【变式2-2】（2022春浙江月考）如图，在四面体OABC中，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OMMA，CN2NB，则等于（）ABCD【变式2-3】（2021秋宜昌期中）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，若，点P为A1C1与B1D1的交点，则（）ABCD【题型3 空间向量基本定理的应用（求参数）】【例3】（2021秋慈溪市期末）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若64，则（）A2B2C1D1【变式3-1】（2021秋湖北期末）九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何
6、为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱如图，在堑堵ABCA1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若xyz，则x+y+z（）A1BCD【变式3-2】（2021秋新化县期末）四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若x2y3z，则x+y+z等于（）A1BCD2【变式3-3】（2021秋思明区校级期中）如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，设，若，则x+yz（）ABCD【题型4 利用空间向量基本定理解决几何问题】【方法点拨】利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；
7、点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得【例4】（2022秋中牟县月考）已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，P、M为空间任意两点，如果有764，那么点M必（）A在平面BAD1内B在平面BA1D内C在平面BA1D1内D在平面AB1C1内【变式4-1】（2021秋三门县校级期中）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD3，AA14，DAB90，BAA1DAA160，设，（1）用，表示；（2）求AC1的长【变式4-2】如图所示，在三棱锥 ABCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDCDA2，E为BC的中点(1)证明：AEBC ；(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值【变式4-3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心求证：B1O平面PAC.
