《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题2.11 圆的方程-重难点题型精讲（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题2.11 圆的方程-重难点题型精讲（教师版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题2.11 圆的方程-重难点题型精讲1圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.2圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程 (r0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3圆的一般方程(1)方程叫做圆的一般方程.(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般
2、方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程：已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.4二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：二元二次方程，对比圆的一般方程，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是5点与圆的位置关系(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆
3、内，点在圆外.(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为.平面内一点.6与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.(2)圆关于点对称求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(3)圆关于直线对称求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.7与圆有关的最值问题(1)与圆的代数结构有关的最值问题形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如t=形式的最值问题，可
4、转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)与圆的几何性质有关的最值问题记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r；过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.【题型1 圆的方程的求法】【方法点拨】(1)圆的标准方程的求法直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.
5、当已知曲线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.(2)圆的一般方程的求法待定系数法：设：根据题意设出圆的一般方程；列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；解：解方程组，求出D,E,F的值.【例1】（2022江苏高二课时练习）经过三个点的圆的方程为（）ABCD【解题思路】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.【解答过程】由已知得，分别在原点、轴、轴上， ，经过三点圆的半径为，圆心坐标为的中点，即，圆的标准方程为.故选：C.【变式1-1】（2022江苏省高二阶段练习）
6、以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（）ABCD【解题思路】根据题意直接写出圆的标准方程即可.【解答过程】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.故选：B.【变式1-2】（2022全国高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（）ABCD【解题思路】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案.【解答过程】依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得，所以所求圆的方程为故选：B.【变式1-3】（2022全国高二专题练习）三个顶点的坐标分别是，则外接圆方程是（）ABCD【解题思路】利用待定系数法进行求解即可.【解答过程】设圆的一般方程为，因为，在这个圆上，所以有，故选：B.【题型2
7、 二元二次方程表示圆的条件】【方法点拨】判断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：看系数：与的系数应相等；看形式：表达式中不应含有xy项；在比较：要大于0.【例2】（2022江苏高二课时练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解题思路】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.【解答过程】若方程表示圆，则，解得：；，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.【变式2-1】（2022江苏高二课时练习）若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（）ABCD【解题思路】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.
8、【解答过程】由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.【变式2-2】（2022全国高二专题练习）若方程表示圆，则实数k的取值范围是（）ABCD【解题思路】根据圆的一般式方程需满足的条件即可直接求出答案.【解答过程】因为方程表示圆，所以，解得.故选：B.【变式2-3】（2022内蒙古高一期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（）ABCD【解题思路】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【解答过程】由，得，则.故选：A.【题型3 点与圆的位置关系】【方法点拨】点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断.【例3】（2022四
9、川省高二阶段练习（理）点P(m，3)与圆(x2)2(y1)22的位置关系为（）A点在圆外B点在圆内C点在圆上D与m的值有关【解题思路】将点的坐标代入圆的方程中，看结果即可判断选项是哪个.【解答过程】将点P(m，3)坐标代入(x2)2(y1)22中，有： 恒成立，故点P在圆外，故选：A.【变式3-1】（2021全国高二课前预习）两个点、与圆的位置关系是（）A点在圆外，点在圆外B点在圆内，点在圆内C点在圆外，点在圆内D点在圆内，点在圆外【解题思路】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.【解答过程】将代入方程左边得，则点在圆内，将代入方程左边得，则点在圆外，故选：D.【变
10、式3-2】（2022全国高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（）ABCD【解题思路】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可【解答过程】由题意，表示圆故，即或点A（1，2）在圆C：外故，即故实数m的取值范围为或即故选：A.【变式3-3】（2022江苏高二课时练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是（）ABCD【解题思路】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可.【解答过程】由点在圆外知，即，解得，又为圆，则，解得，故.故选：D.【题型4 圆有关的轨迹问题】【方法点拨】求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、代入法、定义法等.“轨迹”与“轨迹方
11、程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程.【例4】（2022全国高二课时练习）已知点，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（）ABCD【解题思路】设，根据即得.【解答过程】设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，即，所以，因为为直角三角形的直角顶点，所以，故所求轨迹方程为故选：C.【变式4-1】（2021全国高二课时练习）已知A（3，3），点B是圆x2+y21上的动点
12、，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（）ABCD【解题思路】通过定比分点坐标公式，用M的坐标表示B，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程.【解答过程】设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a3x6，b3y6，又点B是圆x2+y21上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即故选：A.【变式4-2】（2022江苏高二课时练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）ABCD【解题思路】在直角三角形中利用几何关系即可获解【解答过程】圆即,半径因为,所以又是的中点,所以所以点的轨迹方程为故选：B.【变式4-3
13、】（2022江苏高二课时练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，点满足，则点的轨迹方程为（）ABCD【解题思路】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理【解答过程】，即设，则，整理得故选：B【题型5 与圆有关的对称问题】【方法点拨】(1)圆关于点对称：求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(2)圆关于直线对称：求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.【例5】（
14、2021全国高二课时练习）圆关于原点对称的圆的方程为（）ABCD【解题思路】求出已知圆的圆心和半径，求出圆心关于原点对称的圆的圆心的坐标，即可得到对称的圆的标准方程【解答过程】解：圆的圆心，半径等于，圆心关于原点对称的圆的圆心，故对称圆的方程为，故选：【变式5-1】（2022江苏高二课时练习）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（）ABCD【解题思路】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程.【解答过程】圆的标准方程为，其圆心为，半径为因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为即故选：C.【变式5-2】（2021全国高二课时练习）圆关于点对称的圆的标准方程为（）ABCD【解题思路】求出圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，对称圆的半径为1.【解答过程】圆的圆心为，
