《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题2.13 直线与圆的位置关系-重难点题型精讲（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题2.13 直线与圆的位置关系-重难点题型精讲（原卷版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题2.13 直线与圆的位置关系-重难点题型精讲1直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：(2)直线与圆的位置关系的判定方法代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即0，则直线与圆相离. 几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.2圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；若点在圆内，则过此点不能作圆
2、的切线.(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.重要结论：a.经过圆上一点P的切线方程为.b.经过圆上一点P的切线方程为. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.3圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：(1)几何法如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.若交点
3、坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.4解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.如图2-5-1-4，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；如图2-5-1-4，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；如图2-5-1-4，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题解析几何中的最值问题一般是根据
4、条件列出所求目标函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. 形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.5直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤： (2)建系原则建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：对称性原则.可以选择对称中心为坐标
5、原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. 集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.【题型1 直线与圆的位置关系及判定】【方法点拨】代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即0，则直线与圆相离.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.【例1
6、】（2022江西省高一阶段（理）直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定【变式1-1】（2022河南高二阶段）对于任意实数，圆与直线的位置关系是（）A相交B相切C相离D与的取值有关【变式1-2】（2022全国高二课时）已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（）ABCD【变式1-3】（2022全国高二课时）已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，则（）A且与圆相离B且与圆相切C且与圆相交D且与圆相离【题型2 圆的切线问题及切线方程的求解】【方法点拨】当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r(
7、r为圆C的半径).当一条直线l与圆C相切于点P时，则lPC.过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则必定会用到.【例2】（2022全国高三专题）过点作圆的切线，则的方程为（）AB或CD或【变式2-1】（2021山西大同高三阶段（文）已知圆心在轴上，半径为的圆上有一点，则圆在点M处的切线方程是（）AB或CD或【变式2-2】（2022安徽蚌埠一模）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（）ABCD【变式2-3】（2023全国高三专题）在平面直角坐标系中，已知圆：，点是轴上的一个动点，分别切圆C于P，Q两点，则线段长的取值范围是（）ABCD【题型3 圆的弦长问题】【方法点拨】当直线与圆相交时，因几
8、何法求弦长较方便，一般不用代数法.用几何法求解圆的弦长的一般步骤：第一步：确定圆的半径r；第二步：求解圆心到直线的距离d；第三步：代入公式求解弦长.【例3】（2022全国高二课时）直线被圆所截得的弦长为（）AB4CD【变式3-1】（2022全国高三专题）过点，作倾斜角为的直线l，则直线l被圆截得的弦长为（）ABCD【变式3-2】（2023全国高三专题）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（）AB2C4D【变式3-3】（2023全国高三专题）已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（）ABCD【题型4 直线与圆有关的最值问题】
9、【方法点拨】解直线与圆的最值问题主要有以下两种思路：代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法进行求解.在转化过程中常用到向量的数量积、一元二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法.几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、最小取值点.【例4】（2023全国高三专题）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）ABCD【变式4-1】（2022全国高三专题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”
10、.在平面直角坐标系中作，点，点，过其“欧拉线”上一点作圆O：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（）ABCD【变式4-2】（2022江苏高二专题）已知点在圆上，直线与轴、轴分别交于点、，则下列结论中正确的有（）点到直线的距离小于点到直线的距离大于当最小时，当最大时，A个B个C个D个【变式4-3】（2021湖北高二期中）已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（）ABCD【题型5 直线与部分圆的相交问题】【方法点拨】一条直线和一个圆的一部分有交点时，如果用代数法去研究，则要转化为一元二次方程根的取值情况，过程比较繁琐，因此这类问题一般采用数形结合的方法去研究，研究应抓住两类
11、直线：一是切线；二是过端点的直线.【例5】（2022湖南高二阶段）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（）ABCD【变式5-1】（2021山东泰安高二期中）设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（）ABCD【变式5-2】（2021天津高二阶段）设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为()ABCD【变式5-3】（2021山东高二阶段）过点引直线与曲线相交于两点，则直线的斜率取值范围是（）ABCD 【题型6 直线与圆的方程的应用】【方法点拨】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：应在利于解题的原则下建立适当的平面直角坐标系，不可随便建立；在实际问题中，有些量具有一定的限制条件
12、，转化成代数问题时要注意取值范围；最后一定要将代数结果转化成几何结论.【例6】（2022全国高二课时）如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O，A，B三点(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【变式6-1】（2022湖北高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在
13、某平台O的北偏西45方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【变式6-2】（2022浙江高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.
14、规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路.规划要求，线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，（单位：百米）.(1)若道路与桥垂直，求道路的长；(2)在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.【变式6-3】（2022全国高二课时）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）(1)以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程；(2)某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的
