《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题3.9 直线与双曲线的位置关系-重难点题型精讲（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题3.9 直线与双曲线的位置关系-重难点题型精讲（教师版）（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题3.9 直线与双曲线的位置关系-重难点题型精讲1直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.代入得.当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.当0，即时，=.0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.5双曲线与其他知识交汇问题双曲线通常与圆、椭圆、抛物线或向量、不等式、三角函数相联系综合考查，应用中应注意对知识的综合及分析.双曲线的标准方程和几何
2、性质中涉及一些基本量，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助.例如，“”可以通过来证明，也可以通过来证明，证明解析几何问题的方法具有多样性.6双曲线有关的应用问题(1)解答与双曲线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用. (2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】【方法点拨】结合具体条件，根据直线与双曲线的三种位置关系，进行判断，即可得解.【例1】（2022全国高二课时练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（）A充分非必
3、要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【解题思路】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.【解答过程】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与进行平行.故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.故选：B.【变式1-1】（2022全国高二课时练习）直线与双曲线的位置关系是（）A相切B相交C相离D无法确定【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.【解答过
4、程】由得整理得，；所以，故直线和双曲线只有一个交点；又双曲线的渐近线方程为：与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.所以直线和双曲线的位置关系为相交故选：B.【变式1-2】（2022福建高二期末）直线与双曲线有且只有一个交点，那么实数的值是（）AB或C或D【解题思路】直接联立直线方程和双曲线方程，分二次项系数为0和不为0分析，二次项系数不为0时需要得到的二次方程的判别式等于0【解答过程】联立，得.当，即时，方程化为一次方程，直线与双曲线有且只有一个交点；当，即时，要使直线与双曲线有且只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，即，解得：.综上，使直线与双曲线有且只有一个交点的实数的值是或.
5、故选C.【变式1-3】（2022全国高二课时练习）过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（）A1条B2条C3条D4条【解题思路】把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论【解答过程】解；双曲线方程为：，当k不存在时，直线为x4，与1的图象有且只有一个公共点，当k存在时，直线为：yk（x4）+4，代入双曲线的方程可得：，（1）若0，k时，y（x4）+4与双曲线的渐近线yx平行，所以与双曲线只有1个公共点，（2）k时， ，即k，此时直线y（x4）+4与双曲线相切，只有1个公共点综上过点P（4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条故选：D.【题型
6、2 弦长问题】【方法点拨】解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.涉及弦长问题，应联立直线与双曲线的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，由韦达定理得到 (或)，代入到弦长公式即可.【例2】（2022全国高二课时练习）直线与双曲线有两个交点为，则（）A2BC4D【解题思路】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离【解答过程】由，得，.故选：C【变式2-1】（2022全国高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（）AB
7、CD【解题思路】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解【解答过程】由题意可设双曲线方程为，由得，则，不妨假设，则，由图象的对称性可知，可化为，即，解得，故双曲线方程为：，故选：C.【变式2-2】（2021全国高二课时练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（）ABC10D【解题思路】根据渐进线方程得出,再根据焦点得出,结合,可求出双曲线的标准方程,然后根据点斜式得出直线方程,联立方程组求出，,最后由弦长公式即可求出截得的弦长.【解答过程】双曲线：的一条渐近线方程是，即，左焦点，双曲线方程为，直线的方程为，设，由，消可得，故选:C.
8、【变式2-3】（2011云南德宏高二期末）经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（）ABCD【解题思路】设出直线方程代入，整理可得，利用韦达定理,结合弦长公式，即可得出结论.【解答过程】由 ，所以双曲线的右焦点为，经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线方程为，代入,整理可得，设交点,则直线被双曲线截得的线段的长是 ，故选：B.【题型3 双曲线的“中点弦”问题】【方法点拨】 解决“中点弦”问题常用点差法，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关. 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等. 在解决此类问
9、题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.【例3】（2022全国高二课时练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于MN两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（）ABCD【解题思路】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.【解答过程】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则，所以，解得，则，.弦长|MN|.故选：D.【变式3-1】（2022全国高二课时练习）已知点，在双曲线上，线段的中点，则（）ABCD【解题思路】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长.【解答过程】设，则可得方程
10、组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，则故选：D.【变式3-2】（2022全国高二课时练习）已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（）ABC6D【解题思路】设出直线，与联立，根据韦达定理，可求出的值，再根据弦长公式求得弦的长【解答过程】解：双曲线，则，所以右焦点，根据题意易得过的直线斜率存在，设为，联立，化简得，所以，因为中点横坐标为4，所以，解得，所以，则，则故选D【变式3-3】（2022全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A，B两点，若P为线段AB的
11、中点，则|AB|（）A2B2C3D4【解题思路】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代入弦长公式求；解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.【解答过程】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x4)2.由消去y并整理，得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，解得k1.所以x1x210.所以|AB|4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，.得(x1x2)(x1x2)(y1
12、y2)(y1y2)0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，y1y24.所以4(x1x2)4(y1y2)0，即x1x2y1y2，所以直线AB的斜率k1.则直线AB的方程为yx2.由消去y并整理，得x28x100，所以x1x28，x1x210.所以|AB|4.故选：D.【题型4 双曲线中的面积问题】【方法点拨】双曲线中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与双曲线方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边形面积问题可化为两个三角形面积来求解.【例4】（2023全国模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1(1)求双曲线的标准方程与离心率；(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积【解题思路】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出直线，的斜率可得直线的方程，数形结合可解.【解答过程】（1
