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1、循 环 码目 录CONTENTS定义及多项式描述一生 成 多 项 式二G 与 g(x)三一、定义及多项式描述2循环码(7,4)汉明码汉明码所有码字所有码字(0000000)(0001011)(0010110)(0100111)(1000101)(0011101)(0101100)(1001110)(0110001)(1010011)(1100010)(0111010)(1011000)(1110100)(1101001)(1111111)(0010110)(1000101)(0101100)(0110001)(1100010)(1011000)偶重码字(7,3)除删除删一、定义及多项式描述3循
2、环码所有码字所有码字(0000000)(0001011)(0010110)(0100111)(1000101)(0011101)(0101100)(1001110)(0110001)(1010011)(1100010)(0111010)(1011000)(1110100)(1101001)(1111111)(0010110)(1000101)(0101100)(0110001)(1100010)(1011000)(7,4)汉明码汉明码一、定义及多项式描述4循环码1000101100010100010110010110010110010110000110001110001001001111001
3、11000111010111010111010011010011010011010011111111110000000具有循环移位特性的线性分组码就是循环码。一、定义及多项式描述5循环码 定义定义 在任一个在任一个GF(q)(q为素数或素数幂为素数或素数幂)上的上的n维线维线性空间性空间Vn中，一个中，一个n重子空间重子空间Vn,kVn，若对任何一个，若对任何一个C=(cn-1,cn-2,c0)Vn,k，恒有，恒有C1=(cn-2,c0,cn-1)Vn,k，则，则称称Vn,k是是循环子空间循环子空间或或循环码循环码。如何有效描述循环码？如何有效描述循环码？具有循环移位特性的线性分组码就是循环码
4、。一、定义及多项式描述6循环码C=(cn-1,cn-2,c1,c0)C(1)=(cn-2,cn-3,c0,cn-1)左循环移位后左循环移位后码多项式码多项式多项式多项式一、定义及多项式描述7循环码C(2)=(cn-3,c0,cn-1,cn-2)定理定理 若若C(x)是是n长循环码中的一个码多项式，则长循环码中的一个码多项式，则xiC(x)按模按模xn+1运算的余式必为循环码中另一码多项式。运算的余式必为循环码中另一码多项式。码多项式码多项式多项式多项式二、生成多项式8循环码 定理定理 一个二进制一个二进制(n,k)循环码中有唯一的非零最低循环码中有唯一的非零最低次多项式次多项式g(x)，且其常
5、数项为，且其常数项为1。+0001011 01100010010110 11000100101100 10001011011000 00000000111010 10100110011101 11010011001110 11101000100111 1111111(7,4)循环码循环码哪一个码多项式次数最低？二、生成多项式9循环码 定理定理 一个二进制一个二进制(n,k)循环码中有唯一的非零最低循环码中有唯一的非零最低次多项式次多项式g(x)，且其常数项为，且其常数项为1。0001011 01100010010110 11000100101100 10001011011000 0000000
6、0111010 10100110011101 11010011001110 11101000100111 1111111(7,4)循环码循环码哪一个码多项式次数最低？g0=0 g0=1二、生成多项式10循环码0001011 01100010010110 11000100101100 10001011011000 00000000111010 10100110011101 11010011001110 11101000100111 1111111(7,4)循环码循环码哪一个码多项式次数最低？二、生成多项式11循环码0001011 01100010010110 11000100101100 100
7、01011011000 00000000111010 10100110011101 11010011001110 11101000100111 1111111 定义定义 如果一个码的所有码多项式都是多项式如果一个码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍的倍式，则称式，则称g(x)为该码的生成多项式。为该码的生成多项式。定理定理 GF(2)上的上的(n,k)循环码中，存在有唯一的循环码中，存在有唯一的n-k次首次首1多项式多项式g(x)，使得每一码多项式，使得每一码多项式C(x)都是都是g(x)的倍式，且的倍式，且每一小于或等于每一小于或等于n-1次的次的g(x)的倍式一定是码多项式。的倍式一定是
8、码多项式。生成多项式生成多项式(7,4)循环码循环码哪一个码多项式次数最低？二、生成多项式12循环码 定理定理 设设g(x)是是(n,k)循环码循环码C(x)中的一个次数最低的多项式中的一个次数最低的多项式（g(x)0），则该循环码由），则该循环码由g(x)生成，并且生成，并且g(x)|(xn+1)。生成多项式具有什么特征？生成多项式g(x)的倍式二、生成多项式13循环码例例可以构造出几种循环码？可以构造出几种循环码？定理定理 设设g(x)是是(n,k)循环码循环码C(x)中的一个次数最低的多项式中的一个次数最低的多项式（g(x)0），则该循环码由），则该循环码由g(x)生成，并且生成，并且g
9、(x)|(xn+1)。生成多项式具有什么特征？二、生成多项式14循环码码多项式码多项式码码 字字（0010111）（0101110）（1011100）（0111001）（1110010）（1100101）（1001011）（0000000）只要知道了只要知道了xn+1的因式分解，用它的各个的因式分解，用它的各个因式的乘积，便能得到很多个不同的循环码。因式的乘积，便能得到很多个不同的循环码。(7,3)循环码循环码三、G 与 g(x)15循环码系统码情况系统码情况生成多项式与生成矩阵是什么关系？三、G 与 g(x)16循环码系统码情况系统码情况生成多项式与生成矩阵是什么关系？三、G 与 g(x)17循环码系统码情况系统码情况生成多项式与生成矩阵是什么关系？三、G 与 g(x)18循环码q例例 已知(7,4)系统码的生成多项式为求生成矩阵。？小小 结结19循环码本课小结：定义及多项式描述生成多项式G与g(x)唯一的，最低次码多项式具有循环移位特性的线性分组码就是循环码。以系统码为例信息论与编码基础国防科技大学授课教师:黄 英 副教授循 环 码
