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1、全国高中数学联赛模拟试题(十一)学校:姓名：班级：考号：一、填空题1 .已知集合 A =1,2,3,4,5 ,8 =4,5,6,7,8 ,集合 C满足C =(A|B),且 C 不是 A 的子集，也不是8的子集，则这样的集合C的个数为.2.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则 此 大 球 的 半 径 的 最 小 值 为.3.已知正实数外吗，。2020 满足 4 +a 2 +。2020=1，则+“皿。4 +4 2+2020+4的 最 小 值 为.4 .在，ABC中，NA8C所对的旁切圆与边AC相切于点O,NACB所对的旁切圆与边AB相切于点若|A 8|=1,|A C|=2,则VADE面 积 的
2、最 大 值 为.5 .在平面直角坐标系x 0 y中，点集K=(x,y)|x e l,2,y e l,2,3,4 .从K中随机取出五个点，则其中有四点共线或四点共圆的概率为.6 .已知定义在R上的函数/(力满足/(x+y)=f(x)+f(y)+孙+1,若/(-2)=-2,则方程/(X)=X的 整 数 解 的 个 数 为.7 .设双曲线r的中心为O,右 焦 点 为 凡 点8满足2尸8 =0尸.若在的右支上存在一点A,使得|。4|=|。尸|且/Q 4BN3NO B4,则离心率的取值范围为.8 .将圆周2+1等分于点4 4，,&向，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的 三 角 形 个 数 为.二
3、、解答题9 .求证：对任意的GN卡,都有a rc ta n +a rc ta n +a rc ta n-+a rc ta n-=.3 7 l +z r n+41 0 .设 q、七 是无穷复数数列，满足对任意正整数，关于X的方程/-/+为+|=()的两个复根恰为、x+1(当两根相等时z=%+1).若数列|当|恒为常数，证明：(1)1*2；(2)数列 J恒为常数.I I .已知如图椭圆G：?+丁=1的左右顶点为4、4,上下顶点为B 1、层，记四边形A与4层的内切圆为C2.(1)求圆G 的标准方程；(2)已知P为 椭 圆 上 任 意 一 点，过点P作圆G 的切线分别交椭圆C 1 于、N两点，试求三角
4、形丽面积的最小值.1 2.设机为正整数，且=?+,求所有的实数组内,当,/,使得X；=1+-5!-T，对所有 i =l,2,，成立.巧+片1 3 .如 图，锐 角 A 8 C 的外接圆为，。是 A在 B C 上的射影，假设AD=8C,点、M为0c中点，/4X 7的角平分线与AC交于点M上一点P满足B P A C.直线O N与AM交于点凡 直线P E 与圆再交于点。.直 线 AC与V P N Q 的外接圆再交于点E.证明：Z D 0 E =9 0 .1 4 .设 eZ+，x 0,X I,是 数 0,1,2-1 的一个排列，满足毛=0,上一天是 2的暴2;-1(V I /|,4 +a2 a2+a3
5、 a2 O 2 O+ax 2且当q=4 2=2 0 2 0=时取到等号故答案为：y .4.毡8【详解】设边BC、C 4、AB的长度分别为人b、c,则|AD=-(a+h-c),AE=-(a+c-h),2 2故S 皿=g|A 0.|A E|.s i n A答案第1 页，共 1 2 页=-_(_ 4 sin 48_8一万 02I 2bc+1 sin A-2bcl/i A A A o,2 n A.A。.3A A=-(l-c o s A)sin A-4=-2sin-2cos sin =2sin cos 8 2 2 2 2 2 2.2 A.9 AL.A,4人 sin sin sin 人又(S AD产)2=
6、4sin6cos2-=4x27x-x-x-xcos2-a,2 2 3 3 3 2 0(e N+),则f(k+i)=f(k)+k+2k+2(keN+),答案第2 页，共 12页即对一切大于1的正整数A,恒有/(外 储另一方面，易求得f(-3)=T/(-4)=l,当整数4 4-5时,由得/伙)一/(4 +1)=-(4+2)0,贝|/(，)一，+1)=)一1。,即/1 八i=k综上可知：方程x)=x的整数解只有2个：-2和1.故答案为：2.r(,2+2715-7.【详解】在平面直角坐标系xQy中考虑问题.不妨设A在第一象限.A是以。为圆心，OF为半径的圆。与的交点.设的左焦点为X,则Z XOA=Z
7、O A B+Z O B A 4/O B A,Z A F O =-NXOA 2NOBA,2即 Z F A B NFBA,FACX2=4C2-C F2(c 是半焦距).代入CF=FB=,得+4 c 2-C.解得e j l,2t货2 I 2 4 I 7【详解】任取一个分点记为P,然后将其余2n个分点这样标志,答案第3页，共12页自尸点后，逆时针方向的连续个点依次记为A，4，4，顺时针方向的连续n个点依次记为瓦，生，纥.先考虑以P为顶点且含有圆心的三角形，如图，显然这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集 A，4，而另一个属于点集 片,与，,B.且这种 尸片鸟，含有圆心当且仅当,.现计算符合条件的三角形
8、个数:当1 =&时，j可取值”,7,n-k+,共计左个值.因此这种含有圆心的-9约 个 数 为=,k=2当点尸取遍2+1个位置，共得;(+1)(2 +1)个三角形，由于每个三角形有三个顶点，故每个三角形重复计算了三遍，因此符合条件的三角形个数为,(+1)(2 +1).故答案为：H(n+l)(2 n+l).69.证明见解析.【详解】由于t a n a r c t a n 1=一叫-=，只需证:4 n+lj 1 +l x J _ n+2 +11 1 1 nar c t an+ar c t an+ar c t an-=ar c t an-3 7 +n+n n+2答案第4页，共1 2页设 f（）=S”
9、N*，注意到:n n-1+./()/(-1)1n+2 H+11 +即 tan arctan 于()一 arctan f(n-1)=tan arctan-,I l+zz+n J又由于，、1一 均 大 于 0,贝 I Jl +n+nr TC 7 T I 1 (c 冗arctan/(72)-arctan/(n-l)l e-,arctan-r e 0,一 2 2J l+n+n2 1 2从而 arctan-=arctan f()-arctan/(一 1).l+zr所 以 arctan +arctan +arctan-彳=arctan/(n)-arctan/(0)=arctan ,3 7 1 +-+2所
10、以对任意的 拉 N.,都有 arctan +arctan +4-arctan-!7+arctan!=.3 7 l+n+n2 +1 410.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意和韦达定理可得%+2=可用（x“T），取模得k+21TxM忱 T，若 闻=0,结 论 同 4 2 显然成立，否则，由于数列 卜小恒为常数，则 氏-1卜 1,即结论也成立；（2）由（1）和题意知，数列 氏|恒为常数，则，%只有互为共轨的两种取值，不妨设为 和3,依据题意即可证明.【详解】由题意和韦达定理得，x“+x“+i=%，=an+i.则=%+|=X|+X“+2，即天+2=%/“+|一 4+|=4+|
11、(七一1).（1）由取模得若同=0,结 论 同 2显然成立；否则，由于数列 卜小恒为常数，则|七 1|=1,即 有 同 4 k 1|+1 =2.（2）由（1）知，对任意的 eN+，k l|=l,又数列 氏/恒为常数，因此乙只有互为共规的两种取值 和3.若存在 e N*,使得x.=xll+,不妨设瑞=%+|=,则Xn+2=2&,.若 X,+2=,则/-2 =0,即 =0 或 2;若工2=示，则2=+s e R,且|-1|=1.因此，要么 C R,要么 玉 呈 、了周期故显然4=%+茗用是常数，即证数列 可卜恒为答案第5 页，共 12页常数.【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列不等式的证明，解题关
12、键在于利用韦达定理得出%+2=花用(七-1)，再取模，对 上,|=。这 种 特 殊 情 形 和 一 般 情 形 风=1 讨论即可证明结论成立：(2)本题主要考查常数列的证明，解题关键在于乙的取值情况和4=的 假 设，由(1 )和题意知，数列 上力恒为常数，则%只有互为共辗的两种取值，不 妨 记 为 和 若 存 在“e N*,使得x,=x”+|,不妨设X,=无向=,则+2=/-,浮 ,对乙+2 分类讨论即可证明.c 4 81 1.(1)x2+y2=-；(2)5 5【详解】(1)因为4、片分别为椭圆G：?+/=l 的右顶点和上顶点，贝|J 4,坐标分别为(2,0),(0,1),可 得 直 线 方
13、程 为：x +2 y=2,4故圆G 的标准方程为v+y=1.(2)设直线PM方 程 为 如+利=1,由直线PM与圆c?相切，可知原点。到直线P M距离1 2 5d =J.+.=有 整理可得病+2 =，将直线P M方程代入椭圆G可得+y2=(nvc+ny)2,整理即有_4)闾+8mn+4/n2 1=0,x2iA=则 xx24m2-1 4 M-14n2-44 mU即从p Mow=T，故OP，Q M.同理OP L ON,故 M、。、N三点共线，则5 祝 =2 5。.=|。尸|。加|.f ,4设O P:y=去代入椭圆方程可得+k2X2=1,贝 I/=-T，4 1 +4%答案第6页，共 12 页故7+/
14、=(1 +公卜2=雷)智则1 1 1 +4公 出 2+4 5-1-=-1-=-O P2 0 M2 4（1 +*2）4（1 +阴 4，,5 1 1 2 8则 广 正+/“两两T 得|呐。也 怪则S MN=|。尸|OM,当且仅当|O P|=|O M|=巫 时 等 号 成 立,3 5Q故三角形尸M V 面积的最小值为1.12.证明见解析.【分析】第一步化简原式，第二步利用A/-GM不等式即可得到=1或/，这两种情况是对称的，不妨证明火=1 的时候成立，所以原式成立.i 2mxj.-X；=I H-,i=1,2,n详解】由 已 知，J=I，得卒二警，故 得 全 相 等.9,注意到若实数而b 满 足 工=
15、上 二a-b-则 a/?=a+b,即。=一.因 此 占e,b,b-IhO,i=1,2,n.设为中有上Y，_ 左=+1一左个人，则有0 4 4 工加2+1,且b-k-b2-T +3-1)2仙 2 +_ 4)=若即 高+（“2.1 一 攵）s-i）=2机.由AM-GM不等式，若0发 根2+1,b-+1-k(b-l)2个k(m?+1-Z)2 m,因此必取等，即左=1 或 疗，这两种情况是对称的，不妨A =l,则1 2-+帆,(b -1)=2m,b-矢.口 b.A1 二 一1 ,贝 ij 人,=-7-+-1,a=?+1.mm答案第7页，共 12 页若Z=o,则(加2+s 1)=2相，即 =(7+1)2
16、nV+1(m+l)22tn若上=?+1,则 丝*=2/，即6=火 包，4=丝 迎.b-2m m+1综上可知，玉,孙，X“要 么1个用+1,/个丝上1；要 么 全 是 丝 辿.m m+11 3.证明见解析.【详解】先证明QCA 8.事实上设。在上异于C,QCPB只要证。、F、P共线.易知 APAQ =BC=AD.设A关于”的对称点为A,A A另交于T,则.CTMSaABM C TD _A B A,_M TD MBA.因为 BC=AD=A C,故 ZABC=45 即 ZMTD=45=ZFDA,因此 AF AT=AD2=AP-=AQ”,知Q、F、P三点共线，故Q、。重合.再证A、N、D、P共圆，事实上由ZAPD=9O0-ZDAP=9 0 -(NCAP-ACAD)2 2=9 0-(Z C-90+ZC)=1350-ZC=NCND,即得.答案第8页，共12页因此结合 =知，N 4是NDV P的外角平分线，故设。关于AC的对称点为以，贝I J M、N、P共 线.设P。与AC交于点K,则A K-A C =A P 2 =A 0 2,故。Q,A C,P。共点 K.因为4 4 D C =/4 D C =9
