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1、通州区 2023 年高三年级查漏补缺试题 数 学 试 卷 2023 年 5 月 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。目要求的一项。（1）若集合lg1Ax yx，|3BxZ x，则AB （A）(1,3)（B）1,3)（C）2 （D）1，2（2）已知复数：2(1 2)zi，则 z 在复平
2、面内对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限（3）设ln0.2a，e0.2b，0.2ec，则（A）abc （B）acb （C）cba （D）bca（4）若6234560123456(1)xaa xa xa xa xa xa x，则246+=aaa （A）64 （B）33 （C）32 （D）31（5）数列na中，21a，42a，nnnaaa11（2n），则2023a （A）14 （B）12 （C）2 （D）4（6）等比数列 na的首项为1a，公比为q，前n项和为nS，则“10a”是“nS是递增数列”的 （A）充分而非必要条件 （B）必要而非充分条件 （C）充要条件
3、 （D）既不充分也不必要条件（7）已知1F，2F分别为双曲线：222210,0yxabab的上，下焦点，点 P为双曲线渐近线上一点，若12PFPF，121tan3PFF，则双曲线的离心率为（A）53 （B）54 （C）45 （D）35 1（8）等腰三角形的屋顶，是我国古代建筑中经常采用的结构形 式 一般说来等腰三角形底边是一定值，假设雨水与屋顶面间摩擦阻力不计，要使雨水从屋顶上流下所需的时间最短，等腰三角形的底角应设计为 （A）30 （B）45 （C）60 （D）72 （9）过直线 yx 上的一点 P 作圆(x5)2(y1)22 的两条切线 l1，l2，切点分别为 A，B，当直线 l1，l2关
4、于 yx 对称时，线段 PA 的长为（A）4 （B）2 2 （C）6 （D）2 （10）函数 f(x)的定义域为 D，若存在闭区间a,bD，使得函数 f(x)同时满足：f(x)在a,b上是单调函数且 f(x)在a,b上的值域为ka,kb(k0)，则称区间a,b为 f(x)的“k倍值区间”现有如下四个函数:1()xf xe,22()fxx,3()ln1f xx+（）,4()sin(,)2 2fxx x .那么上述四个函数中存在“2 倍值区间”的有（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11
5、）已知log 2,log 3aamn，则2m na .（12）有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为_.（13）已知等边三角形 ABC 的边长为 2，A 的半径为 1，PQ 为A 的任意一条直径，则BPCQAPCB .（14）在ABC中，若4AB，ACm，2cos3B，若 ABC中存在且唯一，则ABC面积的最小值为 ；此时 m 的值为 （15）在棱长为 1 正方体1111ABCDABC D中，点满足 1，其中0,1 0,1给出下列
6、四个结论：所有满足条件的点 P 组成的区域面积为 1；2 当1时，三棱锥 1的体积为定值；当1时，点 P 到1AB距离的最小值为 1；当12时，有且仅有一个点，使得1 平面1 则所有正确结论的序号为 .三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）已知函数()sin()(0|)2f xx,，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x的解析式唯一确定.（）求()f x的解析式；（）设函数()()()6g xf xf x，求()g x在区间40,上的最大值 条件：()f x为奇函数；条件：()f x图象上相邻两
7、个对称中心间的距离为；条件：()f x图象的一条对称轴为4x.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （17）（本小题 14 分）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，ABAD，O为BD的中点（）证明：OACD；（）若BCD是等腰直角三角形，90BDC，2CD，点E在棱AD上（与 A，D 不重合），若二面角EBCD的大小为45，求点 D 到面 BCE 的距离 3 （18）（本小题 13 分）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建党 100 周年”的知识竞赛从这两个年级各随机抽取了 40 名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的
8、频数分布表 高一 高二 规定成绩不低于 90 分为“优秀”（）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率在高一、高二年级学生中各选出 2 名学生，记这 4 名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；（）在高一、高二年级各随机选取 1 名学生，用,X Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数写出方差DX,DY的大小关系（只需写出结论）（19）（本小题 15 分）已知椭圆 C:22221xyab(ab0)的离心率为22,椭圆 C 截直线2x 所得线段的长度为2.()求椭圆 C 的方程；()动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 C 于 A，B 两点，
9、交 y 轴于点 M，D 为线段 AB 的中点，点 N 是 M 关于 O 的对称点，以 N 点为圆心的圆过原点 O，直线 DF 与N 相切于点 F，求NDNF的最大值.成绩分组 频数 75，80)2 80，85)6 85，90)16 90，95)14 95，100 2 频率/组距 75 80 85 90 95 100 成绩/分 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 4 （20）（本小题 15 分）已知函数()ln(0)af xaxx ax.（）已知()f x在点(1,(1)f处的切线方程为1yx，求实数a的值；（）已知()f x在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.（）已知()()
10、ag xf xx有两个零点12,x x，求实数的取值范围并证明21 2x xe.（21）（本小题 15 分）已 知：正 整 数 列na各 项 均 不 相 同，*Nn，数 列nT的 通 项 公 式naaaTnn2121.（）若35T，写出一个满足题意的正整数列na的前 5 项；（）若2121aa，naTnn，求数列na的通项公式；（）若kN，都有kan，是否存在不同的正整数,i j，使得iT，jT为大于 1 的整数，其中jin2.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）5 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4
11、 4 分，共分，共 4040 分）分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案 C C A D C B B B C B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）43 （12）0.046 （13）1 （14）16 59；4 53 （15）说明：（14）题前 3 后 2；（15）题全选对 5 分，漏选 3 分，其他情况 0 分。三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（本小题 13 分）解：选（）由()f x为奇函数，所以有()()fxf x，即sin(2)sin(2)xx，解得k，kZ 又|2，所以0.3 分 由条件得2T，解得2.所
12、以()sin2f xx.6 分（）()sin2sin2()6g xxx sin2sin2 coscos2 sin33xxx 33sin2cos222xx 3sin(2)6x 10 分 因为0 x 4，所以266x 23.所以当62x 2时，即6x 时()g x取得最大值，最大值为3.13 分 通州区 2023 年高三年级查漏补缺试题 数学参考答案及评分标准 2023 年 5 月 6 选 由条件得2T，解得2.由一条对称轴为4x，可得242k.解得k，kZ.又|2，所以0 所以()sin2f xx.（）()sin2sin2()6g xxx sin2sin2 coscos2 sin33xxx 33
13、sin2cos222xx 3sin(2)6x 因为0 x 4，所以266x 23.所以当62x 2时，即6x 时()g x取得最大值，最大值为3.13 分 （17）（本小题 14 分）（）证明：因为ABAD，O 为 BD 的中点，所以AOBD.又因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO 平面ABD 所以AO平面BCD.因为CD平面BCD，所以AOCD.5 分 7（）设 BC 的中点为 F，以 O 为坐标原点，以 OF，OD，OA 所在直线为 轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)O，(0,1,0)B，(2,1,0)C，(0,1,0)D，设AEAD(01)，则
14、(0,1)E.由题意可知OA是平面的一个法向量，(0,0,1)OA，设平面的一个法向量为，(2,2,0)BC，(0,1,1)BE.则有00n BCn BE，即220(1)(1)0 xyyz 令1x，则1y ，11z 则平面 BCE 的一个法向量为1(1,1,)1n 所以2121cos,211 1()1n OAn OAn OA.所以121 设点 D 到平面 BCE 的距离为 d 则1CD ndn.即点 D 到面 BCE 的距离为 1 14 分 （18）（本小题 13 分）（）高一年级知识竞赛的优秀率为(0.040.02)50.3.3 分 所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%.（）在高一年级学生中
15、选中成绩优秀学生的概率为310，选中成绩不优秀学生的概率为710；在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为25，选中成绩不优秀学生的概率为35.的所有可能取值为 0，1，2，3，4；5 分 8 2273441(0)()()1052500P；122122373723966(1)()()1010510552500PCC；2211222233372372781(2)()()()()1051010551052500PCC；211222323372276(3)()()1055101052500PCC 223236(4)()()1052500P 所以随机变量的分布列为：P 0 1 2 3 4 441250
16、0 9662500 7812500 2762500 362500 10 分 （）DXDY.13 分 （19）（本小题 15 分）解：（）由椭圆的离心率为22，得222=2()aab.又当2x 时，2222=byba2，得2221bba2，所以2=4a，2=2b.因此椭圆方程为22142xy.5 分(II)设11(,)A xy,22(,)B xy.联立方程22=+,+2=4,ykxmxy 得222(2+1)+4+2-4=0kxxkmxm，由0 得2242mk （*）9 且122421kmxxk，因此122221myyk，所以222(,)21 21kmmDkk，又(0,)Nm，所以222222()()2121kmmNDmkk 整理得：2242224(1 3)(21)mkkNDk，因为NFm，所以2422222224(31)831(21)(21)NDkkkkkNF 令283,3tkt 故21214tk 所以22216161+11(1)2NDttNFtt 因为1ytt 在3+，上单调递增，因此1103ytt 等号当且仅当3t 时成立，此时221+3=4NDNF，NDNF最大值为 2.15 分
