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1、2 0 2 3 年全国中学数学联合竞赛一试(B 卷)一、填空题:本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列 4 中,%=曰 则的值为.2.设复数Z满意z+9=10三+22,,则I z I的值为.3.设/(x)是定义在R上的函数,若/(幻+/是奇函数,f(x)+2 是偶函数,则/的值为.4.在AABC中,若sinA=2 s in C,且三条边a,仇c成等比数列,贝U cos A的值为.5.在正四面体ABC。中,瓦尸分别在棱4氏4。上,满意B E =3,E F =4,且 所 及平面BCD平行,则A D E F的面积为.6.在 平 面 直 角 坐 标 系 中,点集K=(x,y)|x,y=
2、-l,0,l,在K中随机取出三个点,则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.7.设a为非零实数,在平面直角坐标系xOy中,二次曲线尤2+。2+/=。的焦距为%则。的值为8.若正整数。,仇c满意2017 2 10a2 100Z?1000c,则数组(a,b,c)的个数为.二、解答题(本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9.设不等式|2-a|1 J2二、(本题满分4 0分)给定正整数加,证明:存在正整数左,使得可将正整数集N+分拆为女个互不相交的子集4,4,4,每个子集4中均不存在4个数a,c,d (可以相同),满意abcd=m.三、(本题满分5 0分)如图,点。是
3、锐角A A 8 C的外接圆。上弧6 c的中点,直线ZM及圆切过点B,C的切线分别相交于点P,Q,BQ及4c的交点为X,C P及AB的交点为丫,8Q及CP的交点为T,求证:AT平分线段X Y.四、(本题满分5 0分)设qg,a2 0el,2,5),伪也,.也()e l,2,1 0),集合X =(z,j)|l /j 2 0,(a,.-a7)(Z?,.-)0,故二次曲线为双曲线,其标准方程为,则。2=(口)2+(-。)2=/_。,留意到焦距2c,=4,可知一。=4,又a0,所以.8.答案:574解:由条件知,当c =l时,有 T 0W匕W 2 0,对于每个这样的正整数匕,由1 0 b W a W 2
4、0 1知,相应的a的个数为20 2-1 0 b,从而这样的正整数组的个数为*(20 2-1 0 A)=002+2”11=5 7 2,*=i o 220 1 7当c =2时,由,知,。=2 0,进而20 0 a 、一 =20 1,1 0故 a =20 0,20 1,此时共有 2 组(a,。,c).综上所述,满意条件的正整数组的个数为572+2=574.9.解:设f=2设 则fe 2,4,于 是 对全部fw 2,4成立,由于|f|5 Z|(t (5 Z)21(2f a 5)(5 a)0,对给定实数a,设/(f)=(2f a 5)(5 a),则/Q)是关于r的一次函数或常值函数,留意fe 2,4,因
5、此/)0等价于,解得3 a 5/(4)=(3-)(5-)0所以实数。的取值范围是3 a+8=0 ,由于/及G交于两个不同的点,故关于x的方程的判别式A为正,计算得,-=(t2-2t+4)2-2(产-2f)2+8)=(产 -2/)2 _ 8(产-2f)+1 62(产-2r)2-1 64=(r-2。2+8(产-2t)=一(产-2/)(产-2/-8)=-t(t-2)(/+2)(/-4),因此有fw(2,0)、(2,4),设Q,R的横坐标分别为王,,由知,=产2/+4,因此,结合/的倾斜角为45可知,|PQ.PR=V 2(x,-r V 2(x2-t2)=2xxx2 2产(玉+)+2-=(产-+8 2产
6、(r2 一 2/+4)+2/=t4-4/+4产 +8 -2f 4 +4户-8 f 2+2t&=t4-4t2+8=(产-2 +4,由可知,r2-2 G(-2,2).(2,1 4),故(产2 e 0,4)l.(4,1 9 6),从而由得:PQ.PR=(?2-2)2+4 e L 4,8)(8,20 0)注1:利用G的圆心到/的距离小于的半径,列出不等式,同样可以求得中f的范围.注2:更简便的计算I PQM PR|的方式是利用圆幕定理,事实上,的圆心为“(4,0),半径为r=2 0,故IPQ|.|PRH PM|2-r2=(产-4)2+(2r)2 一(20=r4-4r2+8.加试试卷答案、证明:当d N
7、 l时,不等式明显成立以下设O W d 0因 止 匕|(1+a)(l+0)(1+c)|(l-c)(l+c)|=l-c2=l-|c|2 -d2二、证明:取攵=机+1,令4=x|x三i(mod/%+l),xeN+,/=1,2,m+1设a,Z?,c,d e,则 aO-cd s Z z -z z =0(modm+1),故m+l|a。一c d,而所以在A,.中不存在4个数a,b,c,d,满意ab cd=tn三、证明:首先证明yxB C,即证连接8 D,C O,因为,-AC CQ sin ZACQ-AC BC sin ZACB-AC AQsinZCAQ所以彳-二,-.-ABBC sin ZABC AB B
8、P sin ZABP-AB AP sin ZBAP2 2 2由题设,BP,CQ是圆。的切线,所以NACQ=NA8C,Z A C B Z A B P,又NCAQ=NDBC=NDCB=NBAP(留意。是弧BC的中点),于是由知 因为NC4Q=N B 4 P,所以/BAQ=NC4P,于夷 ScA AB。-A B*AQsin ZBAQ.D 4 c=2 丫=AB.AQ SMCP-AC APsin ZCAP A C*A P2c BC CQ sin Z.BCQ 八而也丝-S&BC P L BC BP sin NCBP B P2由,得,即又,故设边BC的中点为M,因为,所以由塞瓦定理知,AM,BX,Cy三线共
9、点,交点即为T,故由KY8 C可得AT平分线段XY四、解:考虑一组满意条件的正整数(,勺,%),仇也,,也。)对女=1,2,5,设4,4 o中取值为人的数有个,依据X的定义,当=为 时,,因此至少有个)不在X中,留意到,则柯西不等式,我们有E G=;(1/4)2;”:(打)2-打)=;20 m-1)=30女=1 ,k=k=Z k=2=1,从而X的元素个数不超过C;o-30=190-30=160另一方面,取“4-3=”4*-2=”4-I=(k=1,2,5),4=6-4 (/=1,2,20).则 对 随 意(lW i j lDE2-E H-=/33 于是 SgR.=;,EF=2 后6.在平面直角坐
10、标系xQi,中,点集K=(x,y)|x,y=1,0,1.在K中随机取出三个点,则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.解:注意K中共有9个点,故在K中随机取出三个点的方式数为C:=81种.当取出的三点两两之间距离不超过2时,有如卜.三种情况:(1)三点在一横线或一纵线上,有6种情况.(2)三点是边长为1,正 的等腰直角三角形的顶点,有4x4=16种情况.(3)三点是边 长 为 立,2的等腰直角三角形的顶点,其中,直角顶点位于Y0.0)的有4个,直角顶点位于(1*0),(0,1)的各有一个,共有8种情况.综上可知,选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6-I6 +R 3 0.进而所求概率为史=
11、上.84 147.设。为非零实数,在平面直角坐标系KOJ中,二次曲线/+2+标=0的焦距为4,则a的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案:上 空.2解:二次曲线方程可写成-=1.显然必须 o,故二次曲线为双曲a*a线,其 标 准 方 程 为 一 一-J=l.则c2=(G)2 +(-4 =/a,注意到焦距(尸(-42c=4,可知/a=4,又a 0,所以。=!.28.若正整数明4 c满足2017210aNIOObNIOOOc,则数组(a,正c)的个数为.答案:574.解:由条件知T丽卜2当c=l时,有10W 8W 20.对于每个这样的正整数6,由108 WaW201知,2相应的
12、。的个数为202-10人 从而这样的正整数组的个数为52(202 10/)=2 0.进而2 0 0 4 3带=201,故。=200,2 0 1.此时共有2组(4瓦c).综上所述,满足条件的正整数组的个数为572-2 574.二、解答题:本大题共3小题,满分5 6分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步屏.9.(本题满分1 6分)设不等式|2-4|5-2 对所有川,2|成立,求实数”的取值范围.解:设r=2、,则相2,4 ,于是|/;|5/对所有/E 2.4成立.由于|/-a|(r-a)2(5-/)*(2t-a-5)(5-a)0.8 分对给定实数-设/=(2/-。-5)(5-G,则/”)是关于,
13、的一次函数或常值函数.注意/2 4 ,因此/。)0等价于/(2)=(-l-a)(5-fl)0,/(4)=(3-aX5-0,解得3 o 5.所以实数。的取值范围是3 a 0(X2-)=2/与 _ 2/区+W)+21*=(-2r 尸 +8-2r(尸 一 2,+4)+2r=-4/+4+8-2/+4/-8+2r=/4-4r2+8=(r2-2)2+4.15分由可知,2-2(-2,2)11(2,14),故(-2 0,4)11(4,196),从而由得,PQ-PR=(t1-2)2+4 G4.8)U(8,200).20 分注1:利用G的圆心到/的距离小于G的半径,列出不等式土弓F l-d 0.2 0分因此|(l
14、 +a)(l+/X l+c)|2|(l-c X l+c)|=1-,=1-固*/.4 0分二、(本 期 I分 40分)给定正整数m,证明:存在正整数,使得可将正整数集N.分拆为A个互不相交的子集4 4,.4,每个子集4 中均不存在4 个数a、b,c、d(可以相同),满足ab-cd=m.证明:取+1,令 4 =1x|x 三 /(modm+1),x N J ,i=1,2,./n+1 .20分设a泊,c,d w 4,则ab-cd 三 i i-i i=0(mod/7j+1)故/n+“H c d,而m+所以在耳中不存在4 个数a,b,c,d,满足ab-cd=m .40 分三、(本题清分5 0 分)如图,点
15、。是锐角 45C 的外接圆上弧6 c 的中点,直 线 与 圆 卬过点3.C 的切线分别相交于点P,。,8。与力C 的交点为X,CP与力B的交点为Y,BQ与CP的交点为7.求证:4 7 平分线段XX.(答题时请将图画在答卷纸上)证明:首先证明四 8C,Hn即证.T AX=AYXC YB连接8。,C O.因为Sjucp S/U 8C =S*Q八4”4b尸-A C CQsinZACQ-A C BCsinZACB-A C AQsinZCAQ所 以 2-2-=2-,AB-BC sin AABC-AB-BP sin ZABP-AB-/P$in Z.BAP2 2 2由题设,8P,C。是圆切的切线,所 以 Z
16、ACQ=ZA B C ZC B =ZABP,又NCAQ=4DBC=4 C B =NBAP(注意。是弧8 c 的中点),于是由知坐 丝=丝AC AP BP.20分因为NC/Q=N 8 4 P,所以NB/0=N。尸,于是S诙 YBZOsinm。皿 枚$3 -ACAPsinACAP A C A P2而由,得5卬 -BC BP sin ZCBP B P2SjABQ _ S“理s sBCP设边8 c 的中点为M,因为4 0 分AX CM BY,XC MB YA所以由塞瓦定理知,8 K t y 三线共点,交点即为T,故由ET 8 c 可得,47平分线段XV.50分四、(本题满分5 0 分)设q,外,1,2,5.4,%1,2,10,集 合 工=伍 川1金/20,(a)-ayX*,-*7),=2 0,由柯西不等式,我们有承=睛H咻胡-2卜网豹=30,从而X 的元素个数不超过C0-30=190-30=160.30 分另一方面,取a“T=。&_ 2 =。a_|=A(A=1 2 ,5),b,=6-q(i=l,2,20),则对任意/;八1金 -al)-(f-a)=-(al-a)y 0,等号成立当且仅当。,=%