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1、2020年全国初中数学竞赛试题考试时间 2020年4月2日上午 9:30-11:30 满分120分一、选 择 题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得。分)1.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔4 千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9 千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()(A)36(B)37(C)55(D)902.已知加=1+啦,H=1-V2,且(7加2 _ 1痴+4)
2、(3/一 6 一 7)=8,则 a 的值等于()(A)-5 (B)5(C)-9 (D)93.RtABC的三个顶点A,B,。均在抛物线y=/上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为人,则()(A)h(B)h=(C)1/?24.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去,最后得到了 34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()(A)2004(B)2005(C)2006(D)20075.如图,正方形A8CD内 接 于 点P在 劣
3、 弧 上,连结DP,交A C于点Q.若Q P=Q O,则 竺 的 值 为()QA(A)273-1(B)273(C)V3+V2(第5题图)(D)V3+2二、填 空 题(共5小题,每小题6分,满分3 0分)6.已知 a,b,c 为整数,且 a+b=2006,c=2005.若 a b,贝 U a+b+c 的最大值为.7.如图,面 积 为 年-c 的正方形。EFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c 为整数,且 b 不能被任何质数的平方整除,则 小 的 值b等于.(第 7 题图)8.正五边形广场A3CDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、。两点同时出发,沿C-O f E f A f 方
4、向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为4 6 米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.9.已知且满足a+,+a+总+-+。+京=1 8,贝匹的值等于.(同 表示不超过x 的最大整数)10.小 明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则 小 明 家 原 来 的 电 话 号 码 是.三、解答题(共4题,每小题15分,满分6 0分)11.已知x=2,a,%为互质的正整数(
5、即a,是正整数,且它们的最大公约a数为 1),且aW8,V 2-l x V 3-l.(1)试写出一个满足条件的尤;(2)求所有满足条件的*.1 2 .设a,。,c 为互不相等的实数,且满足关系式+。2=2/+1 8 +1 4 be-a2 4a 5求 a的取值范围.1 3 .如图,点P为。外一点,过点P作。的两条切线,切点分别为A,B.过点A作 的 平 行 线,交。于点C 连结P C,交。于点E;连结A E,并延长 A E 交 于点 K.求证:PE AC=CE KB.(第13题)14.10个学生参加个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个
6、学生,他们都不在这两个课外小组中.求的最小值.2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选 择 题(共 5 小题,每小题6 分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填 多填或错填均得0 分)1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()(A)3 6 (B)3 7 (C)5 5 (D)9 0答:C.解:因为4和9的最小公倍数为3 6,19+3 6=
7、5 5,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在5 5千米处.故选C.2 .己知加=1+后,=1-V2 ,且(7,/?一I 4 m +a)(3 2-6 -7)=8,则 a 的值等 于()(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9答:C.解:由已知可得加2 2根=1,n2-2 n =l.又(7 m2-14 m +)(3 n2-6/i-7)=8,所 以(7 +a)(3-7)=8 解得a=-9故选C.3.为 A B C的三个顶点A,B,C均在抛物线y =Y上,并且斜边A B平行于x轴.若斜边上的高为,贝(I()(A)h(B)h=l(C)lh2答:B.解:设点A的坐标为(a,a2),点 C 的坐标为(
8、c,c2)(|c|“|),则点B 的坐标为(-a,a2),由勾股定理,得 A C?=9-。)2+(。2 一。2)2,BC2=(c+a)2+(c2-a2)2,AC2+BC2=AB2所以(/一 C?)2 =/一 0 2 .由于所以/=1,故 斜 边 上 高/?=/-0 2=1故选B.4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去,最后得到了 3 4 个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()(A)2 0 0 4 (B)2 0 0
9、5 (C)2 0 0 6 (D)2 0 0 7答:B.解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加3 6 0 .于是,剪过k 次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)X3 6 0 .因为这(k+1)个多边形中有3 4 个六十二边形,它们的内角和为3 4 X(6 2-2)X180 =3 4X6 0 X 180 ,其余多边形有(k+1)3 4=k-3 3(个),而这些多边形的内角和不少于(k-3 3)X180 .所以(k+l)X3 6 0 2 3 4 X6 0 X180 +*3 3)X 180 ,解得 k2 2 0 0 5.当我们按如下方
10、式剪2 0 0 5 刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1 个三角形,得 到 1 个三角形和1 个五边形;再在五边形上剪下1 个三角形,得到2个三角形和1个六边形如此下去,剪了 5 8 刀后,得 到 5 8 个三角形和1 个六十二边形.再取3 3 个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到3 3 个三角形和3 3 个四边形,对 这 3 3 个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪5 8刀,便 3 4 个六十二边形和3 3 X5 8个三角形.于是共剪了5 8+3 3+3 3 X5 8=2 0 0 5 (刀).故选B.5.如图,正方形ABC。内接于。,点 P 在劣弧AB上,连结。P,交 AC于
11、点Q.若Q P=Q O,则 好 的 值 为()QA(A)2V 3-1(B)2百(C)V3+V2(D)V3+2答:D.解:如图,设。的半径为r,QO=m,贝 l QP=m,QC=r+m,QA=t-m.在中,根据相交弦定理,得 QA QC=QP QD.r 2-m2即(r m)=m QD,所以 QD=-m连结 0,由勾股定理,得。2=。2+。2,QP即 f-=r2 4-m2,解得加二4 3 m)3(第 5 题图)所以 舒普二猾32故选D.二、填 空 题(共 5 小题,每小题6 分,满分30分)6 .已知a,b,c为整数,且 a+b=2 0 0 6,c。=2 0 0 5.若 b,贝 U +b+c 的最
12、大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _答:5 0 13.解:由 a +b =2 0 0 6,c-a -2 0 0 5 ,得 a+b+c=a 4-4 0 11.因为 +b =2(X)6,4 00,s i j “a 400 x 13.所以,1 2.5 Wx 1 3.5.故 x=1 3,此时/=-=104.509.已 知 0 1,且满足1a H-302Q d-30+a2 9H-30+=18,则 1痴 的值等于.(%表示不超过%的最大整数)答:6.,1 2 29 1 2 解:因为 0 a 4-a H-a H-2,所以 ci H-,a H-30 30 30 L 30L
13、3029 +等于。或 1.由题设知,其中有1 8个等于I,所以30a+1302a +一301 1八C I 4-=03012a n-3013a +一3029C l 4-130所以 0 a H-1,1 W a H-2.30 30故 1 8W3 0a 1 9,于是 6W 10 aL,所以 1 0a =6.1 0.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81 倍,则 小 明 家 原 来 的 电 话 号 码 是
14、.答:2 82 5 00.解:设原来电话号码的六位数为a b c 力力,则经过两次升位后电话号码的八位数为laSbcdef.根据题意,有 81 X ahcdef-laSbcdef.记 x=b xl()4 +c xl()3 +dxl()2 +ex l 0+7,于是81xflxlOs+8Lr=208x10s+xl06+x,解得 4 1 2 5 0X(2 0871。).128 208因为 O W x C l O ,所以0忘1 2 5 0义(2 0871。)1()5,故 五 句因为a为整数,所以4=2.于是k 1 2 5 0X(2 087I X 2尸82 5 00.所以,小明家原来的电话号码为2 82
15、 5 00.三 解 答 题(共4题,每小题1 5分,满分6 0分)1 1 .已知x=2,a,b为互质的正整数(即a,b是正整数,且它们的最大公约数为a1),且a W8,V2 1 x V3 1.(1)试写出一个满足条件的x;(2)求所有满足条件的x.解:(1)x=满足条件.5分2b(2)因为=,a,为互质的正整数,且a W 8,所以aV 2-l -V 3-1,即(VI l)a.a当a=l时,(、历一这样的正整数b不存在.当 a=2 时,(&-1)x2 (仆 一l)x 2,故b=l,此时=.2当 a=3 时,(痣-1)x3 (逐 一1)x 3,故分=2,此时x=2.当a=4时,(J i-l)x 4
16、 (、G-l)x 4,与。互质的正整数匕不存在.当 a=5 时,(痣 一1)x5 v Z?(J 5 1)x5 ,故人=3,此时才二不.当。=6时,(J i l)x6 v(J 5 l)x 6,与互质的正整数人不存在.当=7 时,(后 1)X7 Z?(Q 1)x 7,故方=3,4,5 此时元二,.7 7 7当 a=8 时,(J i l)x 8 0 0,所以a 1.当 a1 时,/+c?=2cJ+16 cz+14=2(。+1)(。+7)0.10 分又当a=6时,由,得=。2+1 3 +14,ac=a2-4 a-5 将两边平方,结合得4 2 m 2+1&/+14)=(“2-4 r/-5)2化简得 2r+&?2 -4痴一25=0,故(6 a +5)(4/2a 5)=0,4ZH 5 1 V il解得a=,或。=-.6 4所以,a的取值范围为a1且a w-9,q J 历.15分6 4解法二:因为人2+。2 =2。2+1&/+14,bc=a2-4 a-5 ,所以(Z?+c)2=2/+1 3 +1 4+2(/44-5)=4/+8 4 +4=4(。+1)2,所以 人+。=2(。+1).又人。=。2一4。一