初中数学竞赛选讲+初中数学竞赛试题及答案

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1、初中数学竞赛专题选讲+初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛专题选讲一元二次方程的根一、内容提要1.一 元 二 次 方 程 a x 2+bx+c=0(a W 0)的实数根，是 由 它 的 系 数 a,b,c 的值确定的.根公式是:2.b+yJb2-4acx=-2a.(b24a c 0)根的判别式 实 系 数 方 程 a x 2+bx+c=O(a W O)有实数根的充分必要条件是:b24a c 0.有理系数方程a x 2+bx+c=O(a#O)有有理数根的判定是:b2-4a c是完全平方式O 方程有有理数根.整系数方程x2+px+q=O 有两个整数根O p2-4q是整数的平方数.3.设 XL x2是

2、 a x 2+bx+c=O 的两个实数根，那么a x i2+bx i+c=0(a#0,b2 4a c2 O),a x 22+bx 2+c=O (a#0,b24a c5：O)；X 1=b+J/72-4-ac2aX 2=bylh2 2a(a W O,b24a c 0)；ha韦达定理：X 1+X 2：X i X 2=(a#0,b24a c 0).a4.方程整数根的其他条件整系数方程a x2+bx+c=0(a#0)有一个整数根X i 的必要条件是：*是 c 的因数.特殊的例子有:C=O X i=O ,a+b+c=O O x i=l,a-b+c=O x i=-1.二、例题例1.已知：a,b,c 是实数，

3、且 a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与 x2+a x+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证 明(用 反 证 法)设两个方程都没有两个不相等的实数根,那么ai W o和 z w o.即41-4Z?0a2-4c 0时，则 和 中 至 少 有 一 个 是 正 数.例2.已知首项系数不相等的两个方程：（a-1）x2（a2+2）x+（a2+2a）=0（b-l*3+2 伙+俨+21）=0（其中 a,b 为正整数）有一个公共根.求a,b 的值.解：用因式分解法求得：方程的两个根是a 和2；方程两根是b 和 空 二.a-b-由已知al,b l且 aWb.P-.。+2。+2.公共根是a

4、=-或 b=-.h-1两个等式去分母后的结果是一样的.即 aba=b+2,aba b+l=3,(a l)(b1)=3.a,b都是正整数,解得a1=1或。-1=3Z?-l=lQ=2a=4；0=4或b=2,又解：设公共根为x o 那么*(l,a2+b22ab,；a2+2ab+b2 24ab,(a2+2ab+b2)k5:4ab.20.，一定有c,d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B,使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(kl).例 6.k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？(k2-l)x2-6(3k-l)x+72=0；kx2+(k2-2)x-(k+2)=0.解：用因式分解法求得两个

5、根是：xi=二，X 2=X-.k+1 k由 xi 是整数，得 k+l=l,2,3,4,6,12.由 X2 是整数，得 k-l=l,2,3,6.它们的公共解是：得 k=0,2,-2,3,-5.答：当 k=0,2,-2,3,一5 时，方程有两个整数解.根据韦达定理k+2,2%)=-=-k-.k k；xi,x2,k都是整数，.-.k=l,2.(这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.)把 k=l,1,2,2,分别代入原方程检验，只有当k=2和 k=-2 时适合.答：当 k 取 2 和-2 时，方程有两个整数解.三、练习1.写出下列方程的整数解：5x2#)x=0的一个整数根是_x=0_.

6、3*2+(、丘 一 3)x =0的一个整数根是_x=l x2+(V5+l)x+V5=0 的一个整数根是 x=-l_.2.方 程(l m)x2x-l=0有两个不相等的实数根，那么整数m的 最 大 值 是.3.已知方程x2-(2 m-l)x 4 m+2=0的两个实数根的平方和等于5,则m=_ l_.4.若x Wy,且满足等式X2+2X 5=0和y2+2y5=0.那么工+l=_1 _.(提示：x,y是方程Z2+5Z5=0的两个根.)%y5.如果方程x2+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p,q应满足的关系是：9q=2p2.6.若方程ax2+bx+c=0中a0,b0,c 0.那么两实数

7、根的符号必是一正一负.7.如果方程m x2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么方程(m 5)x?-2mx+m=0实数根的个数是(A).(A)2(B)1(C)0(D)不能确定8.当 a,b 为何值时，方程 x2+2(l+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？a=lb=-1/29.两个方程x2+kx-l=0和x2xk=0有一个相同的实数根，则这个根是(C)(A)2(B)-2 (C)1(D)-110.已知：方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,b应满足的关系是：a不 等 于b.11.己知：方程x2+bx+l=0与x 2-x-b=0有一个公共根为m,

8、求：m,b的值.M=-l b=212.已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1,就是方程x2-a2x+ab=0的两个实数根.试求a,b的值或取值范围.13.已知：方程ax2+bx+c=0(aW0)的两根和等于Si，两根的平方和等于$2,两根的立方和等于S 3.求证：as3+bs2+csi=0.14.求证：方程x2 2(m+l)x+2(m-l)=0的两个实数根，不能同时为负.(可用反证法)15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,d是方程x2+nx+q=0的两个实数根.求证：(ac)(bc)(ad)(bd)=(pq)2.16.如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5,

9、两实数根的积是2,那么这个方程是：17.如果方程(x-l)廿一2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是()3 3 3(A)OWmWl(B)m 2=(C)-m W l(D),W m W l4 4 41 8.方程7x2一伙+13)x+k2-k-2=0(k是整数)的两个实数根为a,B且0 a l,IV 6 2,那么k的取值范围是()(A)3k4(B)-2k-l(C)3k4 或(D)无解参考答案1.0,1,一 1 2.05.9 q=2 p 2 6.一正一负 7.D3.8.1 0.a+b+l=0,a T b1 1.m=1,b=21 (舍去一2)a=l,b=0.51 2 J

10、c i 1,(a1 ,b W ：b4 i4.259.C=-2,=-l.1 3.左边=a(x F+X 23)+b(x J+X 22)+C(X i+X 2)=1 4 .用反证法，设X i 0,X 20,由韦达定理推出矛盾(m l)1 5 .由韦达定理，把 左 边 化 为p,q1 6.x23 x+2=0 1 7.C1 8.C1997年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1.下述四个命题(1)一个数的倒数等于自身，那么这个数是1(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形(3)a?的平方根是土|a|(4)大于直角的角一定是钝角其中错误的命题有()A.1 个 B.2个 C.3

11、 个 D.4 个46 +女4亚-G2.已知 x b,方程3 x 2+3 (a+b)x+4 a b=0的两个根a ,B满足关系式a (a +1)+B (B+1)=(a +1)(B+l),试求所有的整数点对(a,b).三、(本题满分25分)已知定理：“若三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a+5 b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试 问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论.1 9 9 7年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1.C .2.C 3.A4.D.5.A.6.B二、填空题1.27V3 2.133.-y S y 4.63第一试证：VZEPG=ZEFP=ZCPF,:

12、.ZDPB=ZAPG=45+ZEPG=ZBPF+ZCPF=ZBPC.又YPD=PC,PB公用，.,.PDBAPCB.BC=BD.又NPBD=NCBP=45,AZCBD=90o,ABC1BD.、解：据题意，可得0.+B =(a+b),a B =gab 由关系式 a(a+1)+B (P+l)=(a+1)(B +1)得(a+B )?-3 a B =1 把代入，得(a+b)24 a b=l即(ab)2=1又 曾.ab=l 又由判别式()得3(a+b)16ab 将代入得(a+b)W4 由、可知，满足条件的整数点对(a,b)只 能 是(1,0),(0,-1)三、解：n的最大可能值是9先证：3整除a+b+c

13、；a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)3 I a+b+c设a、b被3除余数分别为ra、r b,则因a、b是大于3的质数，故raWO,rbWO若r a#r b,则ra=l、rb=2或ra=2,rb=l,这时，2a+5b必是3的倍数，即c是合数了，矛盾故ra=rb即ra=rb=l或ra=rb=2,此时，a+2b是3的倍数，从而9 I a+b+c再证9是最大的；2X11+5X5=47 中，11+5+47=63,又 2X13+5X7=61 中，13+7+61=81,而(63,81)=9,故9是最大可能的值.初中数学竞赛专题培训第十三讲梯形与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯

14、形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用.例 1如图2-4 3 所示.在直角三角形A BC中，E 是斜边A B上的中点，D 是A C的中点，DF EC交 BC延长线于F.求证：四边形EBF D是等腰梯形.分析 因为E,D 是三角形A BC边 A B,A C的中点，所以EDBF.此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF.证 因为E,D 是A A BC的边A B,A C的中点，所以EDBF.又已知DF EC,所以ECF D是平行四边形，所以EC=DF.又E 是R tA BC斜边A B上的中点，所以EC=EB.由，EB=DF.下面证明EB与 DF 不平行.若 EBDF

15、,由于ECDF,所以有ECEB,这与EC与 EB交于E 矛盾，所以EB双 DF.根据定义，EBF D是等腰梯形.例 2 如图 2-4 4 所示.A BCD 是梯形，A DBC,A DS2=y.又BC2=A B2+A C2=2 A B2=2 a2,a2DE2 _ DE2 _ y 1B F=BC7=2?4 由于BC=DB,所以，在R tZ BED中,所 以=1历 以DB 2从而N EBD=3 0 （直角三角形中3 0 Z BCD=I（1 8 0。-Z EBD）=75。.角的对边等于斜边一半定理的逆定理）.在中,例3如图2-4 5所示.直角梯形A BCD中，A DBC,Z A=9 0 ,Z A DC

16、=1 3 5 ,C D的垂直平分线交BC于N,交A B延长线于F,垂足为M.求证：A D=BF.分 析M F是DC的垂直平分线，所以N D=N C.由A DBC及N A DC=1 3 5 知，Z C=4 5 ,从而N N DC=4 5 ,Z DN C=9 0 ,所以A BN D是矩形，进而推知4 B F N是等腰直角三角形，从而A D=BN=BF.证 连接DN.因为N 是线段DC的垂直平分线M F 上的一点，所以N D=N C.由已知，A DBC及N A DC=1 3 5 知Z C=4 5 ,从而Z N DC=4 5 .在A N D C 中，Z DN C=9 0 (=N DN B),所以A BN D是矩形，所以A F N D,N F=N DN M=4 5 .BN F 是一个含有锐角4 5 的直角三角形，所以BN=BF.又A D=BN,所 以 A D=BF.例 4 如图 2-4 6 所示.直角梯形 A BCD 中，Z C=9 0 ,A D/BC,A D+BC=A B,E 是 CD 的中点.若 A D=2,BC=8,求a A BE的面积.分 析 由于A B=A D+BC,即一腰A B的长等