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1、初中数学勾股定理简答题专题训练含答案姓名：班级：考号：一、解答题(共10题)1、如图，在 灯 49C中，Z r =90,B D 平 分/A BC 交 A C 于点、。，点、。在A B上，以 点0为圆心，O B为半径的圆经过点D ,交比 于点后.(1)求 证：4。是。的切线；若 加=10,缪=8,求四的长.2、如图，在 RtAABC 中，ZB=90,AB=7 cm,AC=25 cm.点 P 从点 A 沿A B 方向以lcm/s的速度运动至点B,点 Q 从 点 B 沿 B C 方向以6cm/s的速度运动至点 C,P,Q 两点同时出发.(1)求 B C 的长；(2)当 点 P,Q 运 动 2 s 时
2、，求 P,Q 两点之间的距离；(3)P,Q 两点运动几秒时，AP=CQ?3、如图，菱 形A BC D的对角线A C、B D相交于点0,过 点 作 庞 /C,且 施=工2 A C,连接 E C .(1 )求证：四边形BE C O是矩形;(2 )连 接E D 交 A C于 点F,连 接 防，若 4。=12,46=10,求贿的长.4、如图，如图，在 /勿 中，Z 61=90,N的C 的平分线交比 于点，点。在A B上，以 点0为圆心，O A为半径的圆恰好经过点D ,交力。于点后，交 A B 于点、F .(1 )求证：B C 是 0的切线；(2 )若 劭=2万，BF=2 ,求阴影部分的面积(直接填空)
3、.5、如图，正方形 须 中，点 在 边A D (不与端点A ,物的对称点为点F ,连 接 ，设ZA BE =a.重合)，点A关于直线(备用图)(1 )求 N 夙泳的大小(用含a 的式子表示)；(2 )过 点。作C G L A F,垂足为G,连 接DG.判 断 QG与的位置关系，并说明理由；(3 )将绕点6 顺时针旋转90。得 到AC B H,点 6 的对应点为点，连接班HF.当 为 等 腰 三 角 形 时，求 sin a 的值.6、如图，在“8C中 助=/CBC=1 0,点口是线段上A B上一点，BD =6 ,连 接C D ,C D =8.(1 )求证：C D LA B.(2 )求“BC的周长
4、.7、如图，在正方形ABCD中，A B 边上有一点E,AE=3,EB=1 ,在 A C 上有一点P,使 EP+B P 最短，求 EP+B P 的最短长度.8、已知：如图，四边形A BC D,A B=a,BC =b,C D=c,D A =d,公 与 E0相交于。,且A C L B D,则 a,b,a d之间一定有关系式：a2+c2=b2+d2,请说明理由.9、如图，在 4ABC中，ZC=90,M 是 B C 的中点，M D 1A B 于 D,求证:A D2=A C2+BD2.CB10、如图，在菱形ABCD中，对角线AC,B D交于点O,A E B C交C B延长线于E,CFA E交A D延长线于
5、点F.(1 )求证：四边形AECF是矩形；(2 )连 接OE,若AD=5,BE=3,求线段O E的长.=参 考 答 案=一、解答题1、(1)见解析；C E =4【解析】【分析】(1 )连接 OD,根据 OB=OD ,BD 平分 Z A BC ,证得 Z OD B=/C BD ,推出 OD/BC,得 到/刎=N C=90,由此得到结论；(2 )过 点。作OF 工B C 于夕，推出四边形 是矩形，得 到OF=C D=8,C F=OD=1G ,根据勾股定理求出BF,由垂径定理得到E F=BF =6,由此求出结果.(1)证明：连 接OD ,D：OB=OD ,，Z ODB=Z OBD.,：BD 平分 Z
6、 ABC,A Z OBD=Z CBD,A Z ODB=Z CBD.：.OD/BC,：.Z O D A=Z C=90,以 点 0 为圆心，OB为半径的圆经过点D,：.ZC是。0 的切线；(2)解：过 点。作/，a 于/，,*.Z OFC=Z ODC=A C=90,.四 边 形 皴 F 是矩形，OF=CD=8,CF=OD=10.在 欣 戚 中，OF2+BF2=OB2,：.BF=JOB2-OF2=7103-82=6,OF L BC,：.EF=BF=6,：.CE=CF-EF=10-6=4.【点睛】此题考查了切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确掌握各定理并熟练应用解决问
7、题.242、(1 )BC =2 4 c m；(2 )P Q =1 3 c m；(3)P ,Q 两点运动亍s 时，A P =C Q.【分析】(1)在 R t 四。中，N 8 =9 0 ,A B=7 c m,A C=2 5 c m 根据勾股定理可得BC -=A C2-A B 2=2 5 2-7 2=2 4 2,求出 8。=2 4 c m.(2)连接 PQ,由题意知 BP=1-2 =5(c m),BQ=6 X 2 =1 2(c m),在 R t A BPQ 中，由勾股定理得：PQ=B P2+BQ 2=5 2+1 2 2=1 3 2,进而求出 PQ=1 3 c m.24(3)设 尸，Q两点运动方s时，
8、在=CQ,则 可 得 t =2 4 6 t ,解 得 t =亍【详解】解：(1)V 在 R S 4 6 C 中，N 6 =9 0 ,A B=1 c m,A C=2 5 c mB C2=A C2-A B 2=2 5 2-7 2=2 4 2,/.BC=2 4 c m.连 接PQ,由题意知 BP=7 -2 =5(c m),BQ=6 X 2 =1 2(c m),在 R t A B P Q中,由勾股定理，得：PQ=B P2+BQ =5 2+1 2 2=1 3 2,/.PQ=1 3 c m.(3)设。，Q两点运动 s时，A P=CQ,则 t =2 4 -6 f ,24解 得t=T.24答：X 0 两点运动
9、亍s时，=C Q.【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进行解答.3、(1 )见解析；(2)的长为J 万.【分析】2(1 )由菱形的性质得Z BOC=90,%=5/C ,推 出 旗 二%,则四边形BECO是平行四边形，再 由 Z BOC=90,即可得出结论；(2 )由勾股定理求出 OB=8,则 BD=2 OB=16，再 证 ODF CEF C ASA),得 分=,然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解.【详解】(1 )证明：四边形ABCD是菱形,2.,.Z BOC=90,OC=O A=2AC,2BE=2 AC,：.BE=OC,：BE/AC,/.四边形BEC
10、O是平行四边形，V Z BOC=90,平行四边形BECO是矩形；(2 )解：；四边形ABCD是菱形，2/.BC=AB=10,OC=2 AC=6,OB=O D ,AC L BD,在 Rt OBC 中,由勾股定理得：OB=BC2-OC2=7102-62=8,BD=2 OB=16,由(1 )得：四边形BECO是矩形,:.BE=0C=6,Z OBE=Z ECO=90OB=CE,OB/CE,：.DE=J W +BE，=16+6=2显,Z ODF=Z CEF,O D =CE,在 0DF和 CEF中，DOF=AECF=9Q-OD=CEZ.ODF=ZCEF/.ODF CEF C ASA),：.DF=EF,V
11、Z DBE=90,2/.BF=2D E=，故 跖 的 长 为 历.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理,证明四边形侬。为矩形是解题的关键.2J3-4、(1 )证明见解析；(2)3.【分析】(1 )连 接O D，利用角平分线和平行线之间的角度关系，得 到OD/AC，所 以ODLBC,从 而 得 出B C与。相切；(2 )利用直角三角形的勾股定理解得圆的半径，将阴影部分的面积转化为三角形面积与扇形面积之差，从而计算出阴影部分的面积.【详解】(1 )证明：如图，连 接O
12、 D ,AB：0A=OD ,A Z OA D=Z OD A ,V AD 平分 ZBAC,*.Z C A D=Z OA D ,A Z C A D :乙 OD A ,A C /OD ,A Z OD B=Z C=9 0 ,：O D 是.。0的半径，B C 是 G 0的切线；(2)设。的半径为 r ,则 OD=r,0B=r+2,由(1 )可知 ZBDO=90,在 R t AB D O 中，根据勾股定理可得：O D 2+B D 2=0 B ;即 r 2+(2若)2 =(r+2)2,解得：r=2,BD _2 s/3 _在 R t AB O D 中，tanZBOD=一，.Z B 0 D=6 0o,故阴影部分
13、的面积为：z-n。1 一1 -x m =-x 2x 2/-x/r x 4=2 存一万S 阴 影=S O BD-S 扇形 D O F=2 X O D X B D_ 36 0 2 6 3【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系、勾股定理、扇形面积计算以及三角函数，掌握知识点是解题关键.5、(1)45+a.D G /C F .理由见解析.立(3)5.【分析】(1)作辅助线BF ,用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等.再用三角形内角和为。算出乙 BC F.(2)作 辅 助 线 跖、4 C,先导角证明。死?是等腰直角三角形、“QC是等腰直角三角形.再 证 明 s。比、4 G C A F C,最后用内错角
14、相等，两直线平行，证 得D G/C F .(3)班归为等腰三角形，要分三种情况讨论：F H=BH BF=F H BF=BH ,根据题目具体条件，舍 掉 了 、种，第种用正弦函数定义求出比值即可.【详解】(1)解：连 接BF ,设 和B E相交于点N.点A关于直线B E的对称点为点FB E是A F的垂直平分线BE 1A F,A B=BFZAF=BFAZAB=aN5加l=90-a=N用 Zaff=1800-90-(90-Of)=a 四边形ABCD是正方形.AB=BC,ZABC=90/咏=90。-2凰 AB=BC=BFZBFC=ABCF 乙BFC+ABCF+4 FBC=180,AFBC=90-2a1
15、80-(90-2a)4BFC=BCF=-=45+a2.(2)位置关系：平行.理由：连 接BF,AC,DG设D C和F G的交点为点M,A F和B E相交于点N由 可 知，/ABE=AEBF=a,ABAF=ABFA=90-a ABFC=ABCF=45。+a二.乙AFC=AAFB+ACFB=90-a +45+a =135CFG=180-AFC=45。CG LAGZFGC=90乙 GCF=180-乙FGC-乙 CFG=45=乙CFG是等腰直角三角形CG _ 1而=忑 四边形ABCD是正方形乙BAD=乙ADC=4 BCD=90,AD=CD是等腰直角三角形DC 1.=，AACD=45。AC 也ABCA=
16、45 班垂直平分AFAANE=90ANAE=180-ZANE-乙AEN=a在组)肠和CGM中，AADC=AAGC=90AAMD=ACKGADJf SG M乙M C G =AGAD=a ABCA=45,ABCF=45。+a .AACF=ABCF-Z.BCA=a在 ADGC 和 山?(7中，v =4-/DCG=AACF=a然 FC 也.L.DGC saAFC乙AFC=乙DGC=135.乙D GA=Z.DGC-AAGC=135-90=45DGA=乙 CFG=45CF/DG(3)友归为等腰三角形有三种情况：Q FH=BH BF=FH BF=BH,要分三种情况讨论:当FH=BH耐,作于点M由（1）可知：AB=BF,乙他？=NEBF=a 四边形ABCD是正方形AB=B C,4 ABC=90,NBAS=90设 AB=BF=BC=a.将绕点B顺时针旋转90得 到CBH乙 CBH=NABE=a,BH=BEZ.FBH=AABC-ZABf+/LCBH=90。-2a+a=90-aNJ产=乙BFH=90。-aZ.FHB=180-Z.FBH-ABFH=2a言频是等腰三角形，BH=即，押 工BF1aABHM=AFH
