第23讲 分数百分数行程问题教学目标l 理解行程问题中的各种比例关系.l 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．知识梳理 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比这里因为时间相同，即,所以由得到，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比这里因为路程相同，即，由得，，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比典例分析 考点一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题例1、甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车才从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的。
当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出 千米，乙车才出发解析】两车相遇时共行驶330千米，但是甲多行30千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行驶180千米，乙车行驶150千米，由甲车速度是乙车速度的可以知道，当乙车行驶150千米的时候，甲车实际只行驶了千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了180-125=55千米例2、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
注意：小明第2个4千米，也就是从到的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题的关键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点．例3、从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？【解析】8时 解：根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为，所用时间比为因为从甲地到乙地共行7时，所以上山用4时，下山用3时如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）例4、一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行．已知小汽车的速度是大卡车速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍．如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时?【解析】如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒车的车可立即通过．小汽车倒车的路程为千米，大卡车倒车的路程为千米．小汽车倒车的路程为千米／小时，大卡车倒车的速度为千米/小时当小汽车倒车时，倒车需7.2÷10=O.72小时，而行驶过狭路需9÷50=0.18小时，共需小时；当大卡车倒车时，倒车需小时，而行驶过狭路需小时，共小时．显然当小轿车倒车时所需时间最少，需0.9小时．考点二：时间相同速度比等于路程比例1、甲、乙分别从A，B两地同时相向出发。
相遇时，甲、乙所行的路程比是a∶b从相遇算起，甲到达B地与乙到达A地所用的时间比是多少？【解析】b2∶a2解：因为甲、乙的速度比是a∶b，所以相遇后甲、乙还要行的路程比是b∶a，还要用的时间比是（b÷a）∶（a÷b）＝b2：a2例2、甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行出发时他们的速度之比是3：2，相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高，这样当甲到达地时，乙离地还有41千米，那么两地相遇__________千米解析】 相遇前 相遇后 ∴ 如图！ 即 例3、甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程．所以 A、 B两地相距 (千米)．考点三：路程相同速度比等于时间的反比例1、一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？【解析】出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5 小时，所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时，而速度为原来的，所用时间为原来的，所以后面的一段路程原定时间为小时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚1 小时，所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时所以后面的一段路程原定时间为小时， 类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程需要：小时而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 公里．例 2、一辆汽车按计划行驶了小时，剩下的路程用计划速度的继续行驶，到达目的地的时间比计划的时间迟了2时。
如果按计划速度行驶的路程再增加 60千米，那么到达目的地的时间比计划时间只迟1时问：计划速度是多少？全程有多远？【解析】40千米／时；160千米提示：按计划速度多行驶60千米可以少迟到1时，那么按计划速度多行驶120千米就可以按时到达，即行驶1时后还剩120千米设计划速度为x千米/时，则有实战演练 Ø 课堂狙击1.甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是 解析】可设已走路程为X千米，未走路程为（12-X）千米列式为：X-X=(12-X)×2 解得：X=9 分钟，现在时间是 2.欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6分钟，她调头后速度提高到原来的 2倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 20- 6-3- 6 =5分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 14 ×（6÷ 4）= 21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的．3.甲、乙两车同时从 A地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？【解析】第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了 AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 个 BC 段．由于两次的总行程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长．而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了 2 个 AC 段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为 2 AC : 2 BC =2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍．4.一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用的时间之比是4∶5∶6。
已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米此人走完全程需多长时间？【解析】20.5时提示：先求出上坡的路程和所用时间5.一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是2∶3∶5，某人骑车走这三段路所用的时间之比是6∶5∶4已知他走平路时速度为4.5千米／时，全程用了5时问：全程多少千米？【解析】 21.25千米提示：先求出走平路所用的时间和路程6.甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程．所以 A、 B两地相距 (千米)．【答案】 千米7.甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？ 【解析】甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米. 【答案】300 米8.小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的倍，营地有一辆摩托车，只能搭乘一人，它的速度是小明步行速度的16倍。
为了使小光和小明在最短时间内到达，小明和小光需要步行的距离。