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1、信号与系统实验报告信号的频域分析实验三 信号的频域分析一、实验目的深入理解信号频谱的概念，掌握信号的频域分析方法。观察典型周期信号和非周期信号的频谱，掌握其频谱特性二、实验原理和方法1、连续周期信号的频谱分析如果周期信号满足狄里赫利条件，那就可以展开为傅里叶级数的形式，即：xt=k=-+ckejk0t 式ck=1T0T0xte-jk0tdt 式式中，T0表示基波周期，0=2T0为基波频率，T0（.）表示任一个基波周期内的积分。式和式定义为周期信号复指数形式的傅里叶级数，系数ck称为 xt称为傅里叶系数。周期信号的傅里叶级数还可以由三角函数的线性组合来表示，即：xt=a0+k=1+akcosk0
2、t+k=1+bksink0ta0=1T0T0xtdt ak=2T0T0xtcosk0tdt bk=2T0T0xtsink0tdt同频率的正弦项和余弦项可以合并，得到三角函数形式的傅立叶级数，即：xt=A0+k=1+Akcos（k0t+k)其中A0=a0，Ak=ak2+bk2 k=-arctanbkak任何满足狄里赫利条件的周期信号都可以表示成一组谐波关系的复指数函数或三角函数叠加。一般说周期信号表示傅里叶级数需要无限多项才能逼近原信号，实际中选项数越多就越逼近原信号。2、连续非周期信号的频域分析 对于非周期连续时间信号，信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换定义为：X=-+x(t)e-jtdt x(t
3、)=12-+Xejtd两式子把信号的时域特性和频域特性联系起来，确立了非周期信号x(t)和频谱X之间关系。采用MATLAB可以方便求取非周期连续时间信号的傅里叶变换。采用几种方法。1）符合运算法傅里叶变换和反变换函数分别用fourier和ifourier函数，其格式为X=fourier（x）和x=ifourier(X)默认的时域变量t，频域变量为。2）数值积分法除了符合运算方法外，也可以利用MATLAB的quad函数，采用数值积分的方法来进行连续信号的频谱分析。也可以利用这个函数计算非周期连续时间信号的频谱。其一般调用格式为：y=quad(fun,a,b) y=quad(fun,a,b,TOL
4、,TRACE,p1,p2,)其中fun指定被积函数，a、b表示定积分的上下限，TOL表示允许的相对或者绝对积分误差，TRACE表示以被积函数的点绘图形式来跟踪该函数的返回值。TOL,TRACE 为空则默认为缺省值。“p1,p2,”表示被积函数除时间t之外的的其他额外输入参数。3）数值近似法数值近似法近似计算：X=-+x(t)e-jtdt=lim0k=-+x(k)e-jkk 当x(t)为时限信号且足够小，就可以演变成X=k=abx(k)e-jkk又可以表示成一个行向量和一个列向量的乘积。3、离散周期时间信号的频域分析基波周期为N的周期序列x(n)可以用N个成谐波关系的复指数序列的加权和表示，即：
5、xn=k=ckejk(2N)nck=1Nk=xne-jk(2N)n式k=表示求和仅需包括一个周期内的N项。我们用周期N与傅里叶系数ck的乘积来表示周期离散时间信号的频谱，即：Xk=Nckk=x(n)e-jk(2N)nxk可以利用MATLAB提供函数fft用来计算，调用格式为X=fft(x)该函数返回Xk一个周期内的值，其中x表示xn一个周期内的样本值。4、离散非周期时间信号的频域分析 非周期序列xn可以表示成一组复指数序列的连续和x(n)=122XejejndXej=n=-+x(n)e-jn这称为x(n)的离散时间傅里叶变换，这两式确立了非周期离散时间信号x(n)及其离散时间傅里叶变换Xej之
6、间的关系。三、实验内容A x(t) -2T -T -/2 0 /2 T 2T t （1）已知x(t)如图所示的周期矩形脉冲信号计算该信号的傅里叶级数；利用MATLAB绘出由前N次谐波合成信号波形，观察随着N的变化合成信号波形的变化规律；利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和变化时对频谱波形的影响。观察实验结果，思考如下问题：Q1-1.什么事吉伯斯现象？产生吉伯斯现象的原因是什么？Q1-2.以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号的频谱有什么特点？Q1-3.周期矩形脉冲信号的有效频带宽度与信号的时域宽度之间有什么关系？Q1-4.随着矩形脉冲信号参数/T的变化，其频谱结构（如频谱包络
7、形状、过零点、谱线间隔等）如何变化？程序代码：%周期矩形脉冲的频谱分析function solve3_1T=input(T=);tao=input(tao=);A=input(A=);N=input(N=);t=-T:0.01:T;x=zeros(size(t);x=x+tao*A/T; for n=1:1:NAk=2*A/(pi*n)*sin(n*(2*pi/T)*tao/2);x=x+Ak*cos(n*(2*pi/T)*t);endsubplot(211)plot(t,x);xlabel (Time(sec);title(N= num2str(N);subplot(212)n1 = -N:
8、1:-1;c1=j*2*pi.*n1.*(exp(-j.*n1*(2*pi/T)*tao/2)-exp(j.*n1*(2*pi/T)*tao/2);c0 = tao*A/T;n2 = 1:1:N;c2=j*2*pi.*n2.*(exp(-j.*n2*(2*pi/T)*tao/2)-exp(j.*n2*(2*pi/T)*tao/2);c=c1 c0 c2;n = -N:1:N;stem(n,c);xlabel(w/w0);title(频谱图);实验结果：该信号的傅里叶级数：Ak=2*A/(pi*n)*sin(n*(2*pi/T)*tao/2);A0=tao*A/T； T=2，tao=0.51)
9、N=102）N=203）N=50 N=201）T=2，tao=0.52）T=4，tao=0.53) T=4,tao=1思考题答案：Q1-1：在函数零点用傅里叶级数拟合是产生高频震荡。产生原因可能是高频分量在零点无法相互抵消所致，或者是N不是。Q1-2周期信号的的频谱是离散的周期函数。Q1-3周期矩形脉冲信号的有效频带宽度与信号的时域有效宽度是正相关。即，周期矩形脉冲信号的有效频带越宽，信号的时域有效宽度越宽。Q1-4 T/tao越小，频谱的包络形状就越高，过零点越多，谱线间隔越大；A x(t)-/2 0 /2 t （2）已知x(t)如图所示的矩形脉冲信号 求该信号的傅里叶变换 利用MATLAB
10、绘出矩形脉冲信号的频谱，观察矩形脉冲宽度变化时对频谱波形的影响。 让矩形脉冲的面积始终等于1，改变矩形脉冲宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱随矩形脉冲宽度的变化趋势观察实验结果，思考如下问题：Q2-1.比较矩形脉冲信号和周期矩形脉冲信号的频谱，二者之间有何异同？Q2-2.根据矩形脉冲宽度变化时频谱的变化规律，说明信号的有效频带宽度与其时域宽度之间有什么关系。当脉冲宽度0，脉冲面积始终等于1，其频谱有何特点？程序代码：function solve3_2(y)clc;A=input(A=);tao=input(tao=);syms t;x=heaviside(t+tao/2)-heaviside
11、(t-tao/2);x=x*A;X=fourier(x)X=inline(X);w=-20:0.01:20;plot(w,X(w);xlabel(w);title(tao= num2str(tao);实验结果：傅里叶变换：X=(sin(w/2) + cos(w/2)*i)/w - (- sin(w/2) + cos(w/2)*i)/w2）A=1,tao=1tao=2 tao=43) A=1 tao=1A=0.5 tao=2A=0.25 tao=4思考题答案：Q2-1周期脉冲信号是离散的，矩形脉冲信号是连续的。但后者是前者的包罗线；Q2-2矩形脉冲信号的有效频带宽度与信号的时域有效宽度是负相关。
12、即，矩形脉冲信号的有效频带越宽，时域有效宽度越小。当tao-0时，频谱接近于1，也就是频谱宽度是。（3）已知x(n)如图所示的周期方波序列： -N -N1 0 N1 N n利用MATLAB绘出周期方波序列的频谱波形，改变参数N和N1的大小，观察频谱波形的变化趋势。观察实验结果，思考如下问题：Q3-1.以周期方波序列为例，说明周期序列与连续周期信号的频谱有何异同。Q3-2.随着周期方波序列占空比的变化，其频谱如何随之变化？程序代码：function solve3_3clc; N1=input(N1=); N=input(N=); syms n;syms k;FXk = symsum(exp(-j
13、*2*pi*k*n/N),n,-N1,N1);FXk = inline(FXk);for kt=-N:1:N Xk=FXk(kt); stem(kt,Xk); hold on;endxlabel(n); title(N1/N= num2str(N1/N); 实验结果：思考题答案：Q3-1周期序列频谱是离散周期的Q3-2占空比越高，频谱周期越大（4）已知一矩形脉冲序列：xn=1, &|n|N10, &|n|N1利用MATLAB绘制周期方波序列的频谱波形，改变矩形脉冲序列宽度，观察频谱波形的变化趋势。观察实验结果，思考如下问题：Q4-1.随着矩形脉冲序列宽度的变化，其频谱如何随之变化？其宽度与频谱的有效频带宽度有何关系？程序代码：function solve3_4clc;N1=input(N1=);n=-N1:N1;w=-pi:0.01*pi:pi;x=ones(size(n);X=x*exp(-j*n*w);plot(w/pi,X);实验结果：N1=1N1=2 N1=3 思考题答案：Q4-1随着宽度的展宽，频谱变密。四、实验心得和体会 渐渐的对于MATLAB编程逐渐熟悉了，所以对于实验的内容就较快的编写出代码来了
