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1、2 0 1 7-2 0 1 8 学年高中数学人教A版选修4-5 全册教学案目 录第一讲一 1.不等式的基本性质第一讲一 2.基本不等式第一讲一 3.三个正数的算术一几何平均不等式第 一 讲 二 1.绝对值三角不等式第 一 讲 二 2.绝对值不等式的解法第一讲本讲知识归纳与达标验收第二讲一比较法第二讲二综合法与分析法第二讲三反证法与放缩法第二讲本讲知识归纳与达标验收第三讲一二维形式的柯西不等式第三讲二一般形式的柯西不等式第三讲三排序不等式第三讲本讲知识归纳与达标验收第四讲一数学归纳法第四讲二用数学归纳法证明不等式第四讲本讲知识归纳与达标验收2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案1
2、 .不等式的基本性质对应学生用书P 11 .实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小.在数轴上,右边的数总比左边的数大.(2)如果 贝如果 6=0,贝 1；如果 -6 0,则 a b.(3)比较两个实数a与 b的大小，归结为判断它们的差 的 符 号;比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.2 .不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果那么如果b b o b 6,b c,那么 a c.即 a b,b c=a c.(3)如果 a b,那么 a+c b+c.(4)如
3、果 a 6,c 0,那么 如果 c 0,那么，沙 1米GN,心 2).(6)如果。b 0,那么版2 2).3 .对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：c 0 时得同向不等式;c=0 时得等式;c b,c d a+c b+d,即两个同向不等式可以相加，但不可以相减;而a 6 0,c d 0 a c b d,即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除.(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正直，并且“G
4、 N,2,否则结论不成 立.而 当“取正奇数时可放宽条件，a h =a bn(n=2k+1,%G N),abya yb(n=2k+1,M N+).(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“今”与“o”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.这要求必须熟记与区别不同性质的条件.如 a b,而反之不成立.12017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案对应学生用书P 1实数大小的比较1 1 4 例 1 已知x,y均为正数，设?=：+：=工，试比较”和的大小.思路点拨 两式作差-W量 式 迎 港 判断正负，得出大小(解 _ _ 1 4 1 _ 4 _+-4
5、 _(工+刃2-4 肛_ (x-y)2m 一 1 十 y x+y-xy x+y xy(x+y)xy(x+y)fV x,y均为正数，.x 0,y 0f x y 0,x+y 0,(x 2 0.?一 20,即(当x=y 时，等号成立).方 法.规 律.小 结 -比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差一变形一判断差的符号一结论，其 中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等.瓶机利/1 .已知a,6R,比较。4+/与Q36+Q/的大小.解：因为(a +b4)a b+a b3)=a (a b)+b3(b a)=(一 b)(J/)=(ab)2(2+a b+b2)=(q b)f 2 0(
6、当且仅当a=6时，取“=”号)所以 J+b e Jb+a/.2 .在数轴的正半轴上，4点对应的实数为登，5点对应的实数为1,试判别4点在9 十aB点的左边，还是在8点的右边？解.因为1_ =一(心)2麟.7 刀9+J 1 9+/U，22017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案6 2所 以 比 fWL9十4当 且 仅 当 份 时 取“=”，所 以 当qW地 时，/点 在8点左边，当。=地 时，A点、与B点、重合.不等式的证明 例 2已知 ab0,cd0,eb0f cd0,:ba0,cd0./ba+cd(),c 0.同 理6一介0,A(ac)(bd)0.Ve0-即 1e 7 e 法二:
7、J cdd0U/0a-cbd0 今-a-c b-deb，c d,贝I acbd；32017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案L(2)若 Qb0,c d 0,贝坛q；(3)若 a b,c b d；(4)若 a b,则 an b f y a，y b(nN 且 2 2).解：(1)取 Q=3,b=2f c=-2f d=-3,即 3 2,2 3.此时 公=乩/=-6.因此(1)为假命题.(2)因同向不等式不能相除，取Q=6,b=4,c=3,d=2,此时=2.因此(2)为假命题.(3)V c d,因此(3)为真命题.(4)当心力0时，才能成立，取=-2,b=-3,当为偶数时不成立，因此(4)
8、为假命题.4.己知a,b,x,都是正数，且，x y,求证：-x-r a y b证明：因为a,b,x,y都是正数，且拉r，所 以/，所以x y故2+1 心+1,x y 即 电 声 所 以 告 f.x y x+a y+b 利用不等式的性质求范围j r 7 T 例 3 (1)已知：求 a一夕的范围.(2)已知：-1 1,1 2 6 W 3,求+3 6 的范围.思路点拨 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质.7 T 7 T 解 一 2 毡，:.一一 夕.且 a B.：.-n a-p n 且 a-/iQ.；一兀 W a v 0.即 a一夕的范围为 兀，0).42017-2018学年高中数学人教A版选
9、修4-5教学案(2)设 a+3 b=(a+b)+X2(a-2b)=(一 +曲。+(21 2及)6.52解得小=1,22=-y5 5 5 2 2/.一 (a+b)歹 _ 2 一(-26户一不二一 a+3/W l.即。+36 的范围为一日，1 .方 法.规 律.小 结 -求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和.、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
10、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Y5.若 8V xV 10,2V yV 4,则j 的 取 值 范 围 是.解析：2VyV4,又 8 VxV 10,4 y 2A 2-5.y答案：(2,5)6.已知lW a+夕 W4,-2WQ1,求 2a一4 的取值范围.解：设 2a P=m(u.+/?)+n(a p),又 1 Q+/?W 4,1片 wg(a+)W 2,|1-3 w|(a-)W-1，J，2a一夕的取值范围为52017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案对应学生用书P31.已 知 数 轴 上 两 点 8 对应的实数分别为x,歹，若 xy0,则恸与例对应
11、的点P,Q的位置关系是（）A.尸在0 的左边 B.尸在0 的右边C.P,。两点重合 D.不能确定解析：Vxy 柩，则a hB.若 a b,c d,则。一（/6cC.若 a h 0,c d 0,则打gD.若 a b 0,a c b d,则 c d解析：当 c0,rf0 时，才有a c b d=c d.答案：D3.已知心6 c,则下列不等式正确的是（）A.a c b c B.a c2 b c2C.b（a b）c（a b）D.|ac|/?c|解析：a b c a a-b 0=（ab）b （a b）c.答案：C4-已知儿 W O,+8）,若帚则（）A.c a bB.h c aC.a b cD.c b
12、a解析：由 帚 丘3,可 得 帚 t l +l +h 即a+b+c a+h+ca+b b+c 6+c c+a.由。+6 8+c 可得 由 b+c c+a 可得 ba,于是有 c a b.答案：A5.已知OVQVI,则Q,/的大小关系是解析：一D（1）Q,/.acT.*.a2a.a答案:a2 a b,a0b,aZ)0.能得出!/成立的有.解析：由 器，得.!y,则实数。，b 应满足的条件为解析：/.x y a2b2+5 2ab+/+4。=(-1)2+(6Z+2)2 0./一 1#0 或 a+2#0.即 abWl 或 2.答案：或2,2 28.若 0,/?0,求证：彳+气2+b.证明；吟+彳-1=
13、5凝 一（Q 1）2（+b）=ah，（一 6）2 2 0 恒成立，且已知 0,b0,*.a+/?0,ab0.（一，论+份 ab,2 22/A9.若./(x)=ax2+Zx,且 1W八一 1)W 2,2(/(1)W 4,求/(一2)的取值范围.解：j -)=a-b,l)=a+6,f(-2)=4a-2b=A f-1)+B f1),4+8=4,U=3,则 =.BA=2 18=1.八 -2)=训-1)+川).2初 户 4,向 一 1户 2,72017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案二 3 W 4-1)W 6,.5 0,a l,/+1 (a+(z)=a2+1 2a=(a l)20.a2+l
14、 6 z+a.J+irJ+a)=a2(a-l)(a l)=(a+l)(a l)20,*./+la-f-a,a+1 (a3+a2)=a3(a2-l)-(a2 l)=(a2-l)(a3-l).当 a l 时，a3 l,a2 l,.(a2-l)(a3-l)0.当 0 al 时，0 a3 l,0 a2 0.即 a3+a2.(2)根据可探讨,得am+1 “+/.(证明如下)am+n+-(am+a)=(，一)(4一1).当 a 时，(zm l,an,当 01 时，oa y,o 0,82017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案即 产+lan,+an.92017-2018学年高中数学人教A版选修4
15、-5教学案2.基本不等式对应学生用书P 41 .基本不等式的理解重要不等式。2+/2 2 附 和 基 本 不 等 式 审 标，成立的条件是不同的.前者成立的条 件 是a与 b都为实数，并且a 与 b 都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条件是。与 6都为正实数，并且。与 b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如。=0,b，0仍 然 能 使 成 立.两个不等式中等号成立的充要条件都是事2 .由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式2 2、(+6)2(l)a+b .2 ；a2+b2 g-/ya-)b2 7：a+b(领亍)W-(5)(a+b)2 2 4 疝对应学生用书P 5利用基本不等
16、式证明不等式 例 1 已知 a,b,c R+,且 a+6+c=L求证：*+思路点拨 解答本题可先利用1 进行代换，再用基本不等式来证明.证明 法一：h,cR+,且 a+b+c=l,1 1 1 a+b+c,a+b+c a+b+c(.-+T+-。=-Q-+-b7-+-c-.h.c,a,c.a.h=3+a+a+b+b+102017-2018学年高中数学人教A 版选修4-5教学案=3+6+3+0+&+$)2 3+2+2+2=9.当且仅当 a=b=c 时，等号成立.即 鸿+%9.法二：a,h,c R+,且 a+6+c=l,!+H W(a+6+c)d+H%=i+M+?+i+f+M+ia a b b c c=3 +(2+号)+(+%)+(京+9 2 3 +2+2+2=9.当且仅当a=6=c时，等号成立.+：+0 9.a b c 方 法 规律小结-用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.题做杂M1 .已知b,c,d 都是正数，求证：(a b +c d)(a c+b d)24a b ed.证明：因为a,b
