《安徽省皖豫联盟2023-2024学年高二上学期期中数学 Word版含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《安徽省皖豫联盟2023-2024学年高二上学期期中数学 Word版含解析(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、20232024学年大联考安徽高二(上)期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可.详解】.故选:B.2. 直线的倾斜角是( )A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C【解析】【分析】先求解出直线的斜率,然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为,所以斜率,设倾斜角为,所以,所以,故选:C.3. 经过点,且以为圆
2、心的圆的一般方程为( )A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径,结合圆的标准方程与一般方程之间的转化,即可求解.【详解】由题意得,圆的半径,所以圆的标准方程为,所以圆的一般方程为故选:A.4. 设,则“”是“直线与直线平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且,解得或所以由充分必要条件的概念判断可知:“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件,故选:A5. 已知向量,若,且,则的值为( )
3、A. 0B. 4C. 0或4D. 1或4【答案】C【解析】【分析】由向量的模求出的值,再由向量垂直求出的值,最后求出即可.【详解】因为且,所以,解得,又因为,所以,当时解得,此时,当时解得,此时,故选:C6. 已知椭圆的两个焦点为,且焦距为4,点在上,若的最大值为25,则的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由椭圆定义利用不等式可知当时,取得最大值,可得,由焦距为4可知,即可得离心率.【详解】由椭圆定义可得,所以,当且仅当时,等号成立由题可知的半焦距,所以离心率故选:B7. 若直线与曲线有且仅有两个不同的交点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】
4、D【解析】【分析】作出曲线,它是半圆,直线过定点,由图可知四条直线产生临界条件,两条过半圆的两个端点,两条是半圆的切线,求出其斜率后可得结论【详解】直线过定点,又曲线可化为:,画出直线与曲线图象如图所示:数形结合可得直线在,处产生临界条件,设直线,的斜率分别为则设直线的方程为,圆心到直线的距离为,解得舍去或,要使两图象有个不同交点,则故选:D8. 已知椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上,则该椭圆的离心率不可能是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出圆与坐标轴的公共点,再分情况讨论结合椭圆的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆的半焦距为,中,令,则,令,则或,故圆与坐标轴的公共
5、点为,又椭圆的焦点在轴上,若椭圆的上顶点为,左焦点为或,即,或,则或,离心率或;若椭圆的左顶点为,左焦点为,则,离心率,综上所述,该椭圆的离心率为或或.故选:C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用截距式的求法,讨论截距的绝对值相等的情况,在进行截距式假设时,分截距为0,截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时,设直线的截距式方程为,由题可得所以或解得或所以直线方
6、程为或,故A,C正确;当直线的截距为0时,设直线方程为,由题可知,故直线方程为,D正确故选:ACD10. 下列结论中正确的是( )A. 若,分别为直线l,m的方向向量,则B. 若为直线的方向向量,为平面的法向量,则或C. 若,分别为两个不同平面,的法向量,则D. 若向量是平面的法向量,向量,则【答案】BD【解析】【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直,由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系,由两平面的法向量平行得平面平行,由平面的法向量与平面内的向量垂直得参数关系,从而判断各选项【详解】,直线与不垂直,故A错误;,或,故B正确;,与不共线,不成立,故C错误;由题可知即解得,故
7、D正确故选:BD.11. 已知圆与圆,则下列说法正确的是( )A. 圆的圆心恒在直线上B. 若圆经过圆的圆心,则圆的半径为C. 当时,圆与圆有条公切线D. 当时,圆与圆的公共弦长为【答案】BC【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程,由此即可判断A;将圆的圆心坐标代入圆的方程即可求出参数,从而可得圆的半径,由此即可判断B;判断此时两圆的位置关系即可判断C;先求出公共弦方程,然后由圆的弦长公式计算判断D即可.【详解】,即,所以圆的圆心为,恒在直线上,故选项A错误因为的圆心为在圆上,所以,解得,所以的半径为,故选项B正确;当时,圆:,圆心为,半径为,此时圆与圆的圆心距,即大于两圆半径和,所以圆与圆
8、外离,圆与圆有条公切线,故选项C正确;当时,圆,圆,两圆相交,公共弦方程为,圆的圆心到公共弦的距离,所以圆与圆的公共弦长为,故选项D错误,故选:BC【点睛】关键点点睛:对于ABD选项的判断比较常规,关键是判断C时,只需要判断两圆的位置关系即可.12. 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心,为半径的圆,这个圆称为蒙日圆若矩形的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是( )A. 的蒙日圆的方程为B. 若为正方形,则的边长为C. 若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点,则D. 过直线上一点作的两条切线,切点分别为,当为直角时,直线(为坐标原点)的斜率为
9、【答案】ABC【解析】【分析】根据已知定义可判断A项,由正方形的对角线为的蒙日圆的直径列方程即可判断B项,由两圆外切列方程即可判断C项,由点在直线与椭圆C的蒙日圆的交点处,列方程组求交点即可判断D项.【详解】对于A项,由题可知的蒙日圆的半径为,则蒙日圆的方程为,故A项正确;对于B项,若为正方形,则为的蒙日圆的内接正方形,设正方形的边长为,由题可知,解得,故B项正确;对于C项,易知点在圆外部,所以若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点,则两圆外切,所以,解得,故C项正确;对于D项,如图所示, 因为为直角,且、是椭圆C的两条切线,所以在椭圆C的蒙日圆上,又因为在直线:上,所以点在直线与椭圆C的蒙日圆的交
10、点处.设直线与圆交于A,B两点,联立,可得或,不妨设,所以当点与点A或B重合时,为直角,且,所以直线的斜率为或0,故D项错误故选:ABC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知平面的一个法向量为,点,在平面内,则_【答案】6【解析】【分析】根据法向量定义列式求参即可.【详解】因为,且,所以,解得故答案为:6.14. 椭圆的右焦点到直线的距离是_【答案】#【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为,代入点到直线距离公式即可得出结果.【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为,所以右焦点到直线的距离是故答案为:15. 已知是圆上的动点,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由的几何意
11、义可知其表示圆上的点与点所在直线的斜率,求出过点A的切线的斜率,结合图象即可求得结果.【详解】设,由题知圆的圆心为,半径,表示直线的斜率,不妨设过点A的圆的切线方程为,则圆心到切线的距离,解得或,结合图可知,实数的取值范围为.故答案为:.16. 已知椭圆的左、右焦点分别为,是上异于顶点的一点,为坐标原点,为线段的中点,的平分线与直线交于点,当四边形的面积为时,_【答案】【解析】【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可.【详解】 由题可知,因为平分,所以到,的距离相等,设为,则易知是的中位线,延长,交于点,则为的中点,过作于,易得,则,从而故答案为:四、解答题:共70分解答应写出文字说
12、明、证明过程或演算步骤17. 已知圆经过,两点(1)求圆的半径;(2)判断圆(且)与圆的位置关系【答案】(1)2 (2)圆与圆外离【解析】【分析】(1)根据已知条件可求得a、b的值,再将圆的一般方程标准化后即可求得结果.(2)比较两圆心距与即可判断.【小问1详解】由题可得,解得,所以圆的一般方程为,则标准方程为,故圆的半径为2【小问2详解】由(1)可知圆的圆心半径,又圆N的圆心,半径,所以,又因为,所以,所以圆与圆外离18 已知直线和圆(1)求与直线垂直且经过圆心的直线的方程;(2)求与直线平行且与圆相切的直线的方程【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)先根据垂直关系设直线,再结合直线
13、过圆心求参即可;(2)先根据平行设直线方程,再根据圆心到直线距离为半径求参得出直线方程.【小问1详解】设与直线垂直的直线的方程为圆可化为,圆心为,因为直线经过圆心,所以,即,故所求直线的方程为【小问2详解】设与直线平行的直线的方程为因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,所以或10,故所求直线的方程为或19. 已知空间中三点,.设,.(1)求;(2)若与互相垂直,求实数的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)求出向量的坐标,然后利用向量模的计算公式求解即可;(2)先求出两向量的坐标,再利用垂直的坐标形式列式求解即可.【小问1详解】,于是,.【小问2详解】,又与互相垂直,即
14、,解得.20. 已知圆的圆心在坐标原点,面积为(1)求圆的方程;(2)若直线,都经过点,且,直线交圆于,两点,直线交圆于,两点,求四边形面积的最大值【答案】(1) (2)14【解析】【分析】(1)根据面积解出半径,再应用圆的标准方程即可;(2)根据几何法求出弦长,再应用面积公式计算,最后应用基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题可知圆的圆心为,半径所以圆的方程为【小问2详解】当直线的斜率存在且不为0时,设直线的方程为,圆心到直线的距离为,则,同理可得,则,当且仅当,即时等号成立当直线的斜率不存在时,此时当直线的斜率为0时,根据对称性可得综上所述,四边形面积的最大值为1421. 如图,在直三棱柱中,为棱的中点,二面角的大小为(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值【