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1、20232024学年大联考安徽高二（上）期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可.详解】.故选：B.2. 直线的倾斜角是（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为，所以斜率，设倾斜角为，所以，所以，故选：C.3. 经过点，且以为圆
2、心的圆的一般方程为（ ）A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解.【详解】由题意得，圆的半径，所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为故选：A.4. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，故选：A5. 已知向量，若，且，则的值为（ ）
3、A. 0B. 4C. 0或4D. 1或4【答案】C【解析】【分析】由向量的模求出的值，再由向量垂直求出的值，最后求出即可.【详解】因为且，所以，解得，又因为，所以，当时解得，此时，当时解得，此时，故选：C6. 已知椭圆的两个焦点为，且焦距为4，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由椭圆定义利用不等式可知当时，取得最大值，可得，由焦距为4可知，即可得离心率.【详解】由椭圆定义可得，所以，当且仅当时，等号成立由题可知的半焦距，所以离心率故选：B7. 若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】
4、D【解析】【分析】作出曲线，它是半圆，直线过定点，由图可知四条直线产生临界条件，两条过半圆的两个端点，两条是半圆的切线，求出其斜率后可得结论【详解】直线过定点，又曲线可化为：，画出直线与曲线图象如图所示：数形结合可得直线在，处产生临界条件，设直线，的斜率分别为则设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得舍去或，要使两图象有个不同交点，则故选：D8. 已知椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出圆与坐标轴的公共点，再分情况讨论结合椭圆的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆的半焦距为，中，令，则，令，则或，故圆与坐标轴的公共
5、点为，又椭圆的焦点在轴上，若椭圆的上顶点为，左焦点为或，即，或，则或，离心率或；若椭圆的左顶点为，左焦点为，则，离心率，综上所述，该椭圆的离心率为或或.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为，由题可得所以或解得或所以直线方
6、程为或，故A，C正确；当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，D正确故选：ACD10. 下列结论中正确的是（ ）A. 若，分别为直线l，m的方向向量，则B. 若为直线的方向向量，为平面的法向量，则或C. 若，分别为两个不同平面，的法向量，则D. 若向量是平面的法向量，向量，则【答案】BD【解析】【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面内的向量垂直得参数关系，从而判断各选项【详解】，直线与不垂直，故A错误；，或，故B正确；，与不共线，不成立，故C错误；由题可知即解得，故
7、D正确故选：BD.11. 已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）A. 圆的圆心恒在直线上B. 若圆经过圆的圆心，则圆的半径为C. 当时，圆与圆有条公切线D. 当时，圆与圆的公共弦长为【答案】BC【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此即可判断A；将圆的圆心坐标代入圆的方程即可求出参数，从而可得圆的半径，由此即可判断B；判断此时两圆的位置关系即可判断C；先求出公共弦方程，然后由圆的弦长公式计算判断D即可.【详解】，即，所以圆的圆心为，恒在直线上，故选项A错误因为的圆心为在圆上，所以，解得，所以的半径为，故选项B正确；当时，圆：，圆心为，半径为，此时圆与圆的圆心距，即大于两圆半径和，所以圆与圆
8、外离，圆与圆有条公切线，故选项C正确；当时，圆，圆，两圆相交，公共弦方程为，圆的圆心到公共弦的距离，所以圆与圆的公共弦长为，故选项D错误，故选：BC【点睛】关键点点睛：对于ABD选项的判断比较常规，关键是判断C时，只需要判断两圆的位置关系即可.12. 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）A. 的蒙日圆的方程为B. 若为正方形，则的边长为C. 若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点，则D. 过直线上一点作的两条切线，切点分别为，当为直角时，直线（为坐标原点）的斜率为
9、【答案】ABC【解析】【分析】根据已知定义可判断A项，由正方形的对角线为的蒙日圆的直径列方程即可判断B项，由两圆外切列方程即可判断C项，由点在直线与椭圆C的蒙日圆的交点处，列方程组求交点即可判断D项.【详解】对于A项，由题可知的蒙日圆的半径为，则蒙日圆的方程为，故A项正确；对于B项，若为正方形，则为的蒙日圆的内接正方形，设正方形的边长为，由题可知，解得，故B项正确；对于C项，易知点在圆外部，所以若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，所以，解得，故C项正确；对于D项，如图所示， 因为为直角，且、是椭圆C的两条切线，所以在椭圆C的蒙日圆上，又因为在直线：上，所以点在直线与椭圆C的蒙日圆的交
10、点处.设直线与圆交于A，B两点，联立，可得或，不妨设，所以当点与点A或B重合时，为直角，且，所以直线的斜率为或0，故D项错误故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则_【答案】6【解析】【分析】根据法向量定义列式求参即可.【详解】因为，且，所以，解得故答案为：6.14. 椭圆的右焦点到直线的距离是_【答案】#【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为，代入点到直线距离公式即可得出结果.【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为，所以右焦点到直线的距离是故答案为：15. 已知是圆上的动点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由的几何意
11、义可知其表示圆上的点与点所在直线的斜率，求出过点A的切线的斜率，结合图象即可求得结果.【详解】设，由题知圆的圆心为，半径，表示直线的斜率，不妨设过点A的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离，解得或，结合图可知，实数的取值范围为.故答案为：.16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，_【答案】【解析】【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可.【详解】 由题可知，因为平分，所以到，的距离相等，设为，则易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点，过作于，易得，则，从而故答案为：四、解答题：共70分解答应写出文字说
12、明、证明过程或演算步骤17. 已知圆经过，两点（1）求圆的半径；（2）判断圆（且）与圆的位置关系【答案】（1）2 （2）圆与圆外离【解析】【分析】（1）根据已知条件可求得a、b的值，再将圆的一般方程标准化后即可求得结果.（2）比较两圆心距与即可判断.【小问1详解】由题可得，解得，所以圆的一般方程为，则标准方程为，故圆的半径为2【小问2详解】由（1）可知圆的圆心半径，又圆N的圆心，半径，所以，又因为，所以，所以圆与圆外离18 已知直线和圆（1）求与直线垂直且经过圆心的直线的方程；（2）求与直线平行且与圆相切的直线的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）先根据垂直关系设直线,再结合直线
13、过圆心求参即可;（2）先根据平行设直线方程，再根据圆心到直线距离为半径求参得出直线方程.【小问1详解】设与直线垂直的直线的方程为圆可化为，圆心为，因为直线经过圆心，所以，即，故所求直线的方程为【小问2详解】设与直线平行的直线的方程为因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或10，故所求直线的方程为或19. 已知空间中三点，.设，.（1）求；（2）若与互相垂直，求实数的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可；（2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可.【小问1详解】，于是，.【小问2详解】，又与互相垂直，即
14、，解得.20. 已知圆的圆心在坐标原点，面积为（1）求圆的方程；（2）若直线，都经过点，且，直线交圆于，两点，直线交圆于，两点，求四边形面积的最大值【答案】（1） （2）14【解析】【分析】（1）根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；（2）根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题可知圆的圆心为，半径所以圆的方程为【小问2详解】当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，同理可得，则，当且仅当，即时等号成立当直线的斜率不存在时，此时当直线的斜率为0时，根据对称性可得综上所述，四边形面积的最大值为1421. 如图，在直三棱柱中，为棱的中点，二面角的大小为（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【
