《浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学 Word版含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学 Word版含解析(23页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2023学年高二年级第一学期浙南名校联盟期中联考数学试题考生须知:1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.4.考试结束后,只需上交答题纸.选择题部分(共60分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知方程表示半径为1的圆,则实数( )A. 2B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】将方程化成圆的标准形式,即有,求参即可.【详解】由题设表示半径为1的圆,所以.故选:D2. 在空间直角坐
2、标系中,点,点B关于y轴对称的点为C,则=( )A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【详解】首先确定B关于y轴对称点坐标,再应用空间两点距离公式求.【分析】由题设,故.故选:C3. 已知直线l的一个方向向量,且过点,则直线l的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据直线的方向向量求出直线的斜率,再利用点斜式即可求出直线方程.【详解】因为直线l一个方向向量,所以直线l的斜率为,又直线经过点,所以直线l的方程为,即.故选:A.4. 抛物线的焦点为F,且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A,若轴,则( )A. 2B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题设
3、可得,再由点在椭圆上,代入求参数即可.【详解】由题设,且在第一象限,轴,则,又在椭圆上,故,而,故.故选:C5. 已知长方体,则直线与直线所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由正方体的性质可得,所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角,即,由余弦定理求解即可.【分析】连接,由正方体的性质可得,所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角,即,在中,所以.故选:B.6. 已知圆与圆相交于A,B两点,则=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先确定圆的圆心和半径,再将两圆方程作差求相交弦方程,应用点线距离公式、弦长的几何求法求.【详解】由圆中且半
4、径为1,将两圆方程作差,得,整理得,所以相交弦方程为,则到其距离为,所以.故选:A7. 双曲线的左、右焦点分别为F、F,A为双曲线C左支上一点,直线与双曲线C的右支交于点B,且,则( )A. B. 26C. 25D. 23【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义有,设易得,在中应用余弦定理求参数,即可求.【详解】由题设知:,令,则,中,则,所以,则,故,则,所以. 故选:B8. 有5张未刮码的卡片,其中n张是“中奖”卡,其它的是“未中奖”卡,现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元,每次在对一张卡片刮码前,下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”,则赢得与下注金额相同的另一笔钱,若刮码结果是
5、“未中奖”,则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后,要使资金增加的概率大于资金减少的概率,则n至少为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据题设分析出:要使资金增加必须2次刮出中奖,转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于,再列不等式求n取值.【详解】由于总资金100元,每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.刮第1张卡前,下注50元:若未中奖,还剩50元;刮第2张卡前,下注25元,不管是否中奖,资金必减少;若中奖,还剩150元,刮第2张卡前,下注75元,未中奖资金减少;中奖资金增加;所以,要使资金增加,则必须2次刮出中奖,否则资金减少;所以,5张卡片中取
6、到2张“中奖”卡的概率大于即可,由5张卡片中任取2张的方法数有10种,n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种,所以且,故或5,即n至少为4.故选:C【点睛】关键点点睛:问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. 已知直线,则( )A. 直线过定点B. 当时,C. 当时,D. 当时,之间的距离为【答案】ABD【解析】【分析】将化为,令即可确定定点;将、代入方程,由方程形式判断直线位置关系;由直线平行得,应用平行线距离公式求距离.【详解】由,令
7、,可得,所以过定点,A对;时,而,即,B对;时,而,显然不垂直,C错;,则,可得,由上知,之间的距离为,D对.故选:ABD10. 某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导,若连续10天,每天空气质量指数(单位:g/m)不超过100,则认为该地区环境治理达标,否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特征推断,环境治理一定达标的地区是( )A. 甲地区:平均数为80,众数为70B. 乙地区:平均数为80,方差为40C. 丙地区:中位数为80,方差为40D. 丁地区:极差为10,80%分位数为90【答案】BD【解析】【分析】A由数据即可判断;C由数据;B
8、、D假设存在大于100的数据,由得矛盾判断B;根据极差得最小数据为90,与百分位数矛盾判断D.【详解】A:10天数据如下:满足平均数为80,众数为70,不符合;B:若表示第天数据,则,如果其中一天的数据超过100,则,故没有超过100的数据,符合;C:10天数据如下:,此时中位数为80,方差约为40,不符合;D:若其中一天的数据超过100,由于极差为10,则最小数据超过90,与80%分位数为90矛盾,故10天没有超过100的数据,符合;故选:BD11. 已知抛物线的准线与x轴交于点D,O为坐标原点,点A,B是抛物线C上异于点O的两个动点,线段AB与x轴交于点T,则( )A. 若T为抛物线C的焦
9、点,则线段AB的长度的最小值为4B. 若T为抛物线C的焦点,则为定值C. 若AOT与BOT的面积之积为定值,则T为抛物线C的焦点D. 若直线DA和直线DB都与抛物线C相切,则T为抛物线C的焦点【答案】ABD【解析】【分析】设直线方程为,由直线方程与抛物线方程联立可得,又可得,由焦半径公式得焦点弦长求解后判断A,由数量积的坐标运算判断B,计算出AOT与BOT的面积之积,由其为定值判断C,求出切点坐标得切线弦所在直线方程判断D【详解】设直线方程为,由,得,则,为焦点时,显然时,;A正确;,B正确;为定值,所以为定值,但不一定有,C错;,设过点的切线方程是,由,得,时,的解为,因此,即,时,的解为,
10、因此,即,直线方程为过焦点,D正确故选:ABD12. 己知椭圆的左,右焦点分别为,圆,点P在椭圆C上,点Q在圆M上,则下列说法正确的有( )A. 若椭圆C和圆M没有交点,则椭圆C的离心率的取值范围是B. 若,则的最大值为4C. 若存在点P使得,则D. 若存点Q使得,则【答案】ACD【解析】【分析】A根据已知,数形结合得时椭圆C和圆M没有交点,进而求离心率范围;B令,求得,结合椭圆有界性得,即可判断;C由题设,令,进而得到,结合点在椭圆上得到公共解求范围;D将问题化为圆心为,半径为的圆与圆有交点.【详解】由椭圆中,圆中圆心,半径为1,如下图示,A:由于,由图知:当时椭圆C和圆M没有交点,此时离心
11、率,对;B:当时,令,则,而,所以,又,故,所以的最大值为,错;C:由,若,则,由,令,且,则,即,所以,则,且,故,对;D:令,若,所以,则,所以,轨迹是圆心为,半径为的圆,而与的距离为,要使点Q存在,则,可得,且,即,对;故选:ACD【点睛】关键点点睛:对于C,根据已知得到,设,利用两点距离公式得到方程组,求出公共解为关键;对于D,问题化为圆心为,半径为的圆与圆有交点为关键.非选择题部分(共90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上,球的直径为5,圆柱底面直径为4,则圆柱的侧面积为_.【答案】【解析】【分析】由题设圆柱体外接
12、球直径,根据圆柱体高、底面半径与外接球半径的几何关系列方程求得高,再应用圆柱侧面积求法求结果.【详解】由题设,圆柱体外接球直径,而圆柱体底面直径,若圆柱体的高为,则,故,所以圆柱的侧面积为.故答案:14. 已知直线与圆,则圆C上到直线l距离为1的点有_个.【答案】2【解析】【分析】写出圆的圆心和半径,应用点线距离公式判断直线与圆相交,再通过判断劣弧一侧是否存在到直线l距离为1的点,即可得答案.【详解】由题设,圆的圆心,半径为2,而到的距离为,故直线与圆相交,又,即劣弧一侧不存在到直线距离为1的点,所以圆C上到直线l距离为1的点有2个.故答案为:215. 椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为,
13、.点O是坐标原点,点A是椭圆的左顶点,的中点M为双曲线的左顶点,设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,满足,则椭圆的离心率_.【答案】#【解析】【分析】根据的中点M为双曲线的左顶点得,根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,可得,再由可得答案.【详解】因为的中点M为双曲线的左顶点,所以,椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,满足,所以,可得,所以,代入可得,则椭圆的离心率.故答案为:. 16. 点P是长方体内的动点,已知,Q是平面BCD上的动点,满足,则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据三点共线定理可得点在线段上运动时,点Q的运动范围是以点为圆心,半径为2的圆面,再结合三角换元,正弦型函数的最
14、值得出结果.【详解】取底面的中心,因为,所以点在平面上,且,所以点在线段上,由得,所以由,得,由,得,又平面,所以平面.因为Q是平面BCD上的动点,满足,所以当在点时,点Q在点;当在点时,点Q在点为圆心,半径为2的圆上;所以点在线段上运动时,点Q的运动范围是以点为圆心,半径为2的圆面,以为坐标原点,以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,设,,R,过点作于点,则点为的中点,所以,,,,当时,取最小,为最小值,因为,所以,设,R,当时,取最大值,所以取最小值.故答案为:.【点睛】空间立体几何轨迹问题:先根据已知条件确定与待求点相关的平行、垂直等关系;可建立空间直角坐标系,表示动点的坐标以及相关点的坐标,然后代入点的坐标所满足的几何关系,整理化简可得出动点的轨迹方程,根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其它量.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知圆.(1)求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程;(2)直线与圆C相交所得的弦长为4,求实数b的值.【答案】(1)或; (2)或.【解析】【分析】(1)写出圆的标准方程确定圆心和半径,讨论直线是否过原点,结