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1、武汉市部分重点中学2023-2024学年度高二上学期期中联考数学试卷本试卷共6页,22题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
2、一项是符合题目要求的.1. 两条不同直线,的方向向量分别为,则这两条直线( )A. 相交或异面B. 相交C. 异面D. 平行2. 已知椭圆:的离心率为,则( )A. B. 1C. 3D. 43. 一束光线从点射出,沿倾斜角为的直线射到轴上,经轴反射后,反射光线所在的直线方程为( )A. B. C. D. 4. 实数,满足,则的取值范围是( )A. B. C. D. 5. 已知的顶点,边上的高所在直线方程为,边上中线所在的直线方程为,则高的长度为( )A. B. C. D. 6. 在四面体中,已知为等边三角形,为等腰直角三角形,斜边,则二面角的大小为( )A B. C. D. 7. 已知椭圆的右
3、焦点为,上顶点为,直线:交椭圆于,两点,若恰好为的重心,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 8. 已知中心在原点,焦点在轴上,且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点,若点在椭圆内,的面积被轴分成两部分,且与的面积之比为,则面积的最大值为( )A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知椭圆:,分别是椭圆的左,右焦点,为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是( )A. 椭圆离心率为B. 的最小值为1C. D. 10. 下列说法正确的是( )A. 已知点,
4、若过的直线与线段相交,则直线的倾斜角范围为B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件C. 曲线:与:恰有四条公切线,则实数取值范围为D. 圆上有且仅有2个点到直线:的距离都等于11. 如图,在多面体中,平面,四边形是正方形,且,分别是线段,的中点,是线段上的一个动点(不含端点,),则下列说法正确的是( )A. 存在点,使得B. 不存在点,使得异面直线与所成的角为C. 三棱锥体积的取值范围为D. 当点运动到中点时,与平面所成的余弦值为12. 椭圆有如下的光学性质,从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射,反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点,左、右焦点分别为、.一束光
5、线从射出,经椭圆镜面反射至,若两段光线总长度为6,且椭圆的离心率为,左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是( )A. 椭圆标准方程为B. 若点在椭圆上,则的最大值为C. 若点在椭圆上,的最大值为D. 过直线上一点分别作椭圆的切线,交椭圆于,两点,则直线恒过定点三、填空题:本大题共4题,每小题5分,共计20分.13. 圆:与圆:的公共弦所在的直线方程为_.14. 所有棱长都为1平行六面体中,若为与的交点,则的值为_.15. 已知椭圆:的左,右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点,、分别交轴于、两点,的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点,则_.16. 已知直线与圆:交于,两点
6、,且,则的最大值为_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系中,已知射线:,:.过点作直线分别交射线,于点A,.(1)已知点,求点A的坐标;(2)当线段的中点为时,求直线的方程.18. 如图,和是不在同一平面上的两个矩形,记,.请用基底,表示下列向量:(1);(2);19. 已知圆,圆:,圆:,这三个圆有一条公共弦.(1)当圆的面积最小时,求圆的标准方程;(2)在(1)的条件下,直线同时满足以下三个条件:(i)与直线垂直;(ii)与圆相切;(iii)在轴上截距大于0,若直线与圆交于,两点,求.20. 如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,为的中点,.为上的一点,已知.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.21. 已知,是椭圆上的三点,其中、两点关于原点对称,直线和的斜率满足.(1)求椭圆的标准方程;(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点,过点作斜率不为0的直线,与椭圆的两个交点分别为、,若为定值,则称点为“稳定点”,问:是否存在这样的稳定点?若有,试求出所有的“稳定点”,并说明理由;若没有,也请说明理由.22. 已知椭圆:的焦距为,且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;