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1、青岛二中2023-2024学年高二第一学期期中考试数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线关于x轴对称的直线方程为（ ）A B. C. D. 2. 两条平行直线：与：之间距离是（ ）A. 0B. 2C. 1D. 3. 若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）A. 4B. C. D. 24. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）A. B. C. D. 5. 如果直线与曲线有两个不同的公共点，那么实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 6. 已知椭
2、圆1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为 A. 1B. 1C. 1D. 17 已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（ ）A. 2B. C. D. 8. 已知椭圆：左、右焦点分别是，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知方程，则下列说法中正确的有（ ）A. 方程可表示圆B. 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆C. 当时，
3、方程表示焦点在轴上的双曲线D. 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010. 已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）A. 与的公切线恰有4条B. 与相交弦的方程为C. 与相交弦的弦长为D. 若，分别是圆，上的动点，则11. 已知双曲线的左右顶点为，左右焦点为，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（ ）A. 若，则的面积为B. 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则C. 若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D. 存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点作直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，过点作抛物线的切线与准线交于点，连接，若，则（ ）A. B.
4、C. 为钝角D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 抛物线的准线方程为_.14. 若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为_.15. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为_.16. 如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知的三个顶点的坐标为，求（1）求的面积；（2）求的外接圆的标准方程.18. 已知直线和圆，且直线和圆交于两点.（1）当为何值时，截得的弦长为4；（2）若，求的取
5、值范围.19. 已知为坐标原点，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.20. 已知动圆过定点，且截轴所得弦长为4.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于A，两点，若为轨迹的焦点，且满足，求的值.21. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过. （1）求椭圆的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.22. 已知点在双曲线上（1）双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐
6、标原点，求证：的面积是定值；（2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足，证明：点恒在一条定直线上青岛二中2023-2024学年第一学期期中考试高二试题（数学）命题人：薛海涛 孙云涛 曹成俊 刘硕 审核人：董天龙时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线关于x轴对称的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得.【详解】直线的斜率为2，与x轴交于点，则与关于x轴对称的直线斜率
7、为，并过点，所以，所求方程为，即.故选：D2. 两条平行直线：与：之间的距离是（ ）A. 0B. 2C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行直线间的距离公式求解即可.【详解】直线：即，故与：的距离为.故选：D3. 若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）A. 4B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据长轴端点确定焦点，再根据的关系可求得的值.【详解】椭圆的长轴端点为，所以双曲线的焦点为，故.故选：D.4. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的
8、距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D5. 如果直线与曲线有两个不同的公共点，那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用数形结合求出直线与半圆相切时的值，以及直线与半圆有两个交点的临界位置时的的值，进而可以求解【详解】由可得：，则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的轴上方的半圆，直线和曲线的图象如图所示：当直线与圆相切于点时满足：，解得，当直线与半圆相交于两点时，把代入直线方程可得：，则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，的取值范围为：，故选：B6. 已知椭圆1(ab0)的右
9、焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为 A. 1B. 1C. 1D. 1【答案】D【解析】【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.7 已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据焦半径公式，联立方程即可求解.【详解】由抛物线可得，所以，故,故，所以故选：B8. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心
10、率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率【详解】是的中点，G是的重心，三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，则,设内切圆半径为r，则，椭圆的离心率为故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知方程，则下列说法中正确的有（ ）A 方程可表示圆B. 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆C. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线D. 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10【
11、答案】BCD【解析】【分析】根据方程的形式，结合圆，椭圆和双曲线的形式，即可求解.【详解】对于A，当方程可表示圆时，无解，故A错误;对于B，当时，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；;对于C，当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确;对于D，当方程表示双曲线时，得；由C可知，焦距为10，当方程表示椭圆时，则，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.故选：BCD10. 已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）A. 与的公切线恰有4条B. 与相交弦的方程为C. 与相交弦的弦长为D. 若，分别是圆，上的动点，则【答案】BCD【解析】【分析】求出圆心距，判断两圆位置关系即可判断A；两圆方程相减消去二次项可判断B
12、；利用点到直线的距离公式求到相交弦的距离，然后由弦长公式求弦长可判断C；观察图形可知，可判断D.【详解】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；两圆方程做差可得与相交弦的方程为，故B正确；由点到直线的距离公式得到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，C正确；.由图可知，故D正确.故选：BCD11. 已知双曲线左右顶点为，左右焦点为，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（ ）A. 若，则的面积为B. 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则C. 若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D. 存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为【答案】ABC【解析】
13、【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出，进而可得三角形的面积；对于B：设，与直线联立，发现均与无关，进一步分析可得；对于C：求出为定值，进而可得的斜率的范围；对于D：将直线方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果.【详解】在双曲线中，对于A：在双曲线的焦点三角形中，可得所以，故A正确； 对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线.设直线，其与的交点为联立，可得，应满足且.由韦达定理可知，都与无关.所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为.由可知，故B正确；对于C，设，且，所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确；对于D，联立，消去可得，故直线与双曲线无交点，所以不
14、存在中点，D错误.故选：ABC.12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点作直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，过点作抛物线的切线与准线交于点，连接，若，则（ ）A. B. C. 为钝角D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，求出点的坐标，直线的方程，结合抛物线的切线求出点坐标，再逐项计算判断即得.【详解】依题意，由，得，设，不妨令，过作轴的垂线分别交y轴于，则有，即，点，设直线的方程为，与方程联立消去x得：，则，解得，因此点，直线，设抛物线在点处切线方程为，与方程联立消去x得：，显然，解得，于是抛物线在点切线方程为，而抛物线的准线为，则，对于A，直线斜率，因此，A正确；对于B，由，得，B正确；对于C，显然，即为直角，C错误；对于D，点O到直线的距离，点M到的距离，所以，D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.三、填空题：本题共4小题，
