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1、六盘水市2023-2024学年度高二年级第一学期期中质量监测数学试题（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卷交回第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】先得，根据并集的运算可得.【分析】，则，
2、故选：C2. 复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，分子和分母同时乘以，进行化简运算，找到虚部即可.【详解】由题意可得：，故虚部为:.故选：B.3. 某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师应抽取人数是（ ）A. 2B. 4C. 9D. 12【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义求解即可.【详解】由题意知，高级及以上职称教师应抽取的人数为人.故高级及以上职称教师应抽取的人数为12人.故选：D.4. 若；，则p是q的（ ）A
3、 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得命题为真命题时，的取值范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，解得，构成集合又由，可得，解得，构成集合，因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件.故选：B.5. 已知，且函数的图象经过点，则的最小值为（ ）A. B. 9C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数恒过的定点得，利用基本不等式中常数代换技巧即可求解最值.【详解】因为函数的图象经过点，所以，又，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C6.
4、 函数在区间的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断出函数的奇偶性，再利用特殊值的正负得出选项【详解】设，则，即在上是奇函数，排除B，D，又，故选：A7. 已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】将，设基底，表示出，运用数量积定义解决问题.【详解】解：.故答案选：A.8. 已知定义在上的函数满足，则下列选项不一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件可得函数的周期为2，利用赋值法可得，由此可判断各选项.【详解】因为，可得，,即得，所以函数的周期为2
5、，令，可得，故A，B正确；又的周期为2，所以，故D正确；而C不一定正确.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】CD【解析】【详解】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.【分析】A.缺少这个条件，故A错误；B. 若，则或相交，故B错误；C. 若，则，又，则，故C正确；D.若，则，又，则，故D正确.故选：CD10. 下列等式成立的有（ ）A. B
6、. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】应用三角恒等变换化简求值，逐个判断即可.【详解】对A，A错误；对B，B正确；对C，C正确；对D，D错误.故选：BC11. 已知三条直线：，不能围成一个三角形，则实数k的值为（ ）A. B. C. 0D. 2【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，分直线与平行或重合，直线与平行或重合和直线过和的交点，三种情况讨论，结合两直线平行的判定和两直线的交点坐标，列出方程，即可求解.【详解】根据题意，直线，不能围成一个三角形，当直线与平行或重合时，可得，解得；当直线与平行或重合时，可得，解得；当直线过和的交点时，由方程组，解得，即两直线的交点为，代入直线，可得，
7、解得，所以实数的值为.故选：BCD.12. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】先令连等式为，取特殊值或者画出函数图像确定ABD可能成立，再利用导数证明C错误即可.【详解】法一：令，则，当时，此时，D正确；当时，此时，B正确；当时，此时，A正确；令，则，令，则，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，所以，即恒成立，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，即恒成立，所以C错误，故选：ABD法二：令，则，如图所示，分别画出的图像，当时，此时，D正确；当时，此时，B正确；当时，此时，A正确；令，则，令，则，令，解得，此时单调递增，令
8、，解得，此时单调递减，所以，即恒成立，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，即恒成立，所以C错误，故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，则的值为_【答案】0【解析】【分析】运用向量数量积定义和坐标运算规则解决问题.【详解】解：因为，所以.故答案为：0.14. 从09这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字是奇数的概率为_【答案】#0.5【解析】【分析】利用列举法求解出古典概型的概率.【详解】，其中个位数字是奇数的有，共5个，故这个数的平方的个位数字是奇数的概率为.故答案为：15. 四面体ABCD中，则该四面体的外接梂的表面积为_【
9、答案】【解析】【分析】利用补形法解决外接球问题.【详解】解：因为，故可以将此四面体ABCD的外接球等价于如图所示的长方体的外接球，所以，所以，外接球的直径，故外接球的半径为，所以外接梂的表面积为.故答案为：.16. 已知定义在上奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是_【答案】【解析】【详解】由题为在上的奇函数和单调递增函数，根据，得，设得，再利用基本不等式可得结果.【分析】由得，因为为上的奇函数，所以，故，又因在上单调递增，所以即，设，则恒成立，则，因，当且仅当即，时等号成立,故.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在中，角A，B
10、，C的对边分别为a，b，c，且（1）求B的大小；（2）若，求的面积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理化简，再运用余弦定理便可解出结果；（2）运用方程组思想解出的值，从而解出的面积.【小问1详解】在ABC中，因为，由正弦定理可得，,化简得，所以，因为，所以；【小问2详解】由（1）及题意可得，故，整理得，又，解得，所以.18. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象（1）求函数的解析式；（2）若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据图像平移可得；（2）将方程在区间上恰有两个实数根，转化为函数在区
11、间的图像与函数的图像有两个交点，利用函数图像可确定实数的取值范围.【小问1详解】函数，由图象向右平移可得，所以函数的解析为：.【小问2详解】函数，当时，函数的图像如下：要使方程在区间上恰有两个实数根，等价于函数在区间的图像与函数的图像有两个交点，由图可知：，故实数的取值范围为：.19. 为了解某校任课教师年龄分布情况，现随机抽取100名教师，统计他们的年龄，并进行适当分组，绘制出如下图所示的频率分布直方图（1）求出频率分布直方图中实数a的值根据频率分布直方图，估计该校任课教师年龄的下四分位数；（结果保留小数点后2位有效数字）（2）根据频率分布直方图，现从年龄在内的教师中采用分层抽样的方式抽取5
12、人，再从这5人中随机抽取2人分享他们的教学经验，求这2人中至少有1人年龄在内的概率【答案】（1）a=0.016，下四分位数约为34.58 （2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的特征和下四分位数的概念计算，即可求解；（2）由（1）求出抽取在45,50)、50,55)内的人数，标记，列举出所有的样本点，利用古典概型的概率公式计算即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图得(0.012+2a+20.024+0.048+0.060)5=1，解得a=0.016，设样本数据的下四分位数为m，则有：，解得；根据频率分布直方图的下四分位数，可估计该校任课教师年龄的下四分位数约为34.58.【小问2详解
13、】由（1）得a=0.016，结合频率分布直方图可算得年龄在45,50)的人数为人，年龄在50,55)的人数为人；用分层抽样的方式从这两组中抽取5人，则落在45,50)内的应抽人，在50,55)内的应抽人，将年龄在45,50)的3位教师编号为1，2，3，年龄在50,55)的2位教师编号为，b；则从这5人中随机抽取2人，所有基本事件为：（1,2）（1,3）（1,）（1,b）（2,3）（2,）（2,b）（3,）（3,b）（,b）共10种，至少有1名年龄在50,55)的有（1,）（1,b）（2,）（2,b）（3,）（3,b）（,b）共7种，所以这2人中至少有1名年龄在50,55)的概率为20. 如图，
14、四棱锥中底面为矩形，平面，M，N分别为，的中点（1）若点E是线段的中点证明：平面；（2）设，线段上是否存在点E，使得与平面所成角的正弦值为【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接，则，又，从而可证，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，设（01），利用空间向量法求出与平面的所成角，求出即可.【小问1详解】连接交于点O，连接，因为底面为矩形，故点O是中点，又E是线段的中点，在PBD中，有；在PBA中，M，N分别为，的中点，有，所以， 平面， 又平面，故平面；【小问2详解】以A为原点为基底，建立如图空间直角坐标系，因为，所以，则：，设平面PBC的法向量为，则，即：，令
