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1、第一章 证明(二)单元备课一、教材分析本章是八年级下册第六章证明(一)的继续.教科书首先给出四条公理，这四条公理与证明(一)中给出的两条公理一起作为对命题继续进行逻辑证明的基础.本章所证明的命题大都与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括：等腰三角形(含等边三角形)的性质定理及判定定理，直角三角形的性质定理及判定定理，线段垂直平分线的性质定理及判定定理，角平分线的性质定理及判定定理.与证明(一)类似，本章所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件，勾股定理及其逆定理等等)在前几册中已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解.对于这些命题，教科书努力将证明
2、的思路展现出来.教科书首先采用提问的方式让学生回忆这些结论，探索结论的方法和过程.因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发.然后再利用公理和已有的定理去证明这些结论.这样处理旨在将抽象的证明与直观的探索联系起来.如在证明“等腰三角形的两个底角相等”时，教科书首先回顾了利用折纸来探索此结论的方法，由此促使学生发现证明思路：作底边上的中线构造全等三角形，从而证明两个角相等.本章还涉及一些以前没有探索过的命题，对于这些命题，教科书采用了不同的处理方式：直接通过证明得到部分命题；对于另一部分命题，则尽可能创设一些问题情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延
3、续和必要发展,使学生经历“探索发现猜想证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用.如对于“在直角三角形中,如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”.教科书先引导学生拼摆三角尺，探索发现有关结论，同时探索的过程也为即将进行的证明提供了思路.此外，教科书还注意渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.本章的设计还考虑了对学生学习方法的指导，以及思维能力的培养.一方面，教科书为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间，将探索发现和证明有机地结合起来；另一方面，教科书还注意引导学生探索证明的不同思路和方法.并进行适当的比较和讨论，开阔学生视野，培养学生的思维能力.如在一种
4、证明方法结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴进行交流.”本章虽然 以逻辑证明为主，但在教材和背景的选取上仍尽可能与实际联系，增强论证的趣味性，从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明在实际中的意义和作用.二、教学目标1. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力.2. 一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义.3. 解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质定理及判定定理.4. 结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道命题成立其逆命题不一定成
5、立.5. 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边和底边上的高，能用尺规作出等腰三角形.三、教学重点与难点重点：探索证明的思路和方法及推理证明.难点：探索证明的思路和方法.四、课时安排1. 你能证明它们吗？ 3课时2. 直角三角形 2课时3. 线段的垂直平分线 2课时4. 角平分线 2课时回顾与思考 2课时五、教学建议1. 使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性.本章既涉及一些以前曾探索过的例题，又涉及一些新的结论，因此在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先提出猜想，然后再进行
6、证明，这样做有利于学生全面地理解证明.在具体教学时，一方面，教师可引导学生回忆探索的过程及其得出的结论，并强调证明的必要性；另一方面，学生经过探索还会得到以往没有探索过的新的结论，然后再去证明.教师应充分利用这样的机会，启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.2. 注意对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性.在掌握了基本的证明步骤和要求的基础上，教学时应注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析辅助线的添加，辅助图形的构造.同时，很多结论的证明方法是不唯一的.辅助线的添加方法也是多种多样的，因此教师在教学时要注意引导学生探索证明的
7、不同方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高逻辑思维水平.3. 要求学生掌握证明的基本要求和方法推理证明是本章学习的重点，因此教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求，如明确条件和结论，能够用数学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程.另外，对于证明思路和方法，教师要注意给学生留出充分思考的时间和空间，同时还要注意学生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.对于反证法，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子使学生体会其思想，不宜对反证法的证明或证明难度提出高要求.4. 注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的
8、启发.在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法，如归纳、类比、转化的思想方法，反证法的思想方法等.教学中应注重这些思想方法的强化和渗透，有意识地引导学生去领会这些思想方法并运用在问题的解决过程中.5. 依据标准和教科书的基本要求，把握好证明的难易程度.掌握和体验证明的基本方法，需要证明一定数量的命题，但要避免过分追求证明题的数量及证明技巧.教学应依据教科书的基本要求，控制好证明题的难度.六、评价建议1. 关注对学生探索结论和证明思路，证明方法等过程的评价.其一，要关注学生是否积极主动参与探索活动以及同伴之间的交流情况；其二，要关注学生能否通过独立思考获得证明的思路，能否使用规范的数学语
9、言表达思考的过程能否尝试用不同的方法证明同一个命题.2. 关注学生对证明思路、证明方法的掌握情况和推理论证能力的水平.3. 关注学生能否运用规范的数学语言表述论证过程. 第一章 证明(二)1 你能证明它们吗？(第1课时)教 案一、教材分析本节课学习等腰三角形性质定理的证明，并由证明通过想一想得出等腰三角形底边上三条主要线段重合的性质(即三线合一)，这条性质是今后证明两角相等，两条线段相等及两条直线互相垂直的重要依据，是这一节的重点，务必使学生牢固掌握.这一节的难点是用文字语言叙述的几何命题的证明，即通常说的文字题.由于它包括了证明几何命题的完整过程，从分析题设、结论、画图到写已知、求证，直到完
10、成证明，每一部分都有些难度，所以学生会感到困难.二、教学目标1. 了解作为证明基础的几条公理的内容.2. 使学生经历“探索 发现猜想证明”的过程，学会综合法证明等腰三角形的有关性质定理.3. 让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式.4. 引导学生探索添加辅助线的规律.三、教学重点、难点重点：等腰三角形的性质定理的证明.难点：用语言叙述的几何命题的证明.四、教具准备等腰三角形(纸片)、投影片、三角板.五、教学建议注重对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性.六、教学过程教 师 活 动学生活动1. 提出问题如何判定两个三角形全等？三角形全等又能得到哪些正确的结论？2. 创设问
11、题情境，引入新课你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？等边三角形呢？你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？3. 证明等边对等角结合上述问题(1)，师生共同绘图“等腰三角形”.演示等腰三角形纸片，回忆以前的折纸过程，分析折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形，能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？你能写出证明过程吗？演示(投影片)证明：取BC的中点D，连接AD，如图1-1.AB=AC，BD=CD，AD=AD，ABDACD(SSS)B=C.(全等三角形的对应角相等) 图1 (5)归纳结论 等边对等角4. 自主探索在图1-1中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你
12、还能得到什么结论？5. 随堂练习课本第4页练习1，2题.补充题：如图1-2，在三角形测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤线上，试问AD与BC有何位置关系？ 图1-26课堂小结这节课你学会了什么？有何收获？7. 布置作业课本第5页习题1.1预习课本第5页至第8页.学生口答.让学生回忆并口答等腰三角形性质中哪是题设、哪是结论.让学生观察绘图，并用文字及数学符号规范地写出“已知，求证.”让学生大胆尝试，充分讨论，探索证明的思路，尽可能让大部分学生口述证明过程，然后再找一名同学板书.与同伴进行交流，还有其它证明方法吗？学生口答.让学生回顾前面的证明过程，
13、思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论.学生板书证明过程.试让学生讨论后口答.学生归纳总结并相互补充.学 案一、学习目标经历“探索发现猜想证明”的过程，学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.二、方法规律与探究等腰三角形是一种特殊的三角形，遇到解决有关等腰三角形的问题时，一般是过等腰三角形的顶点作底边上的高或底边上的中线或顶角的角平分线，利用等腰三角形中的三线合一的性质.若在同一个三角形中证明两个角相等，一般要联想到等腰三角形的性质定理等边对等角.因此需证明两边相等，从而可得到两边所对的角相等.三、分组练习练 习 一1. 填空题:如图1-1，在ABC中，AB=AC，AD是高.若B=65，则BAD=_.若BC=8cm， 则BD=_cm. 若ABC的周长为36cm，AD=10cm， 图1-1则ABD的周长为_. 如图1-2，AB=AC，AD=AE，BAD=28则EDC=_.图1-22. 证明题:(1)如图1-3，直线EF截MAN的两边于B，C，且AB=AC.求证：1=2. 图1-3 (2)如图1-4，点D、E在ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BAD=EAC.图1-5 图1-4练 习 二
