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1、7.1.2全概率公式 -B提高练一、选择题1设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为()A0.025 B0.08 C0.07 D0.125【答案】A【详解】设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)0.5，P(A2)P(A3)0.25，P(B|A1)0.02，P(B|A2)0.02，P(B|A3)0.04，P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.50.020.250.020.250.040.025.故选A.2（2021
2、湖北省团风中学高二月考）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）ABCD【答案】B【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可得.3（2021江苏启东高二月考）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为()A. B. C. D.【答案】B【详解】用A表示丢失
3、一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书由全概率公式得P(A)P(Bk)P(A|Bk).P(B1|A).故选B.4. 某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为()A.0.814 B.0.809 C.0.727 D.0.652【答案】A【详解】选A.以Ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则
4、由题意得,P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)= C9910C10010=0.9,P(A2)=0.4,P(B|A2)= C9810C10010 0.809,P(A3)=0.2,P(B|A3)= C9710C10010 0.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)= C9610C100100.652.由全概率公式,得P(B)=i=04P(Ai)P(BAi)=0.11+0.20.9+0.40.809+0.20.727+0.10.6520.814.5. （2021辽宁锦州市高二月考）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20
5、%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由_车间生产的可能性最大()A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定【答案】A【详解】选A.设A1,A2,A3表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件,易知A1,A2,A3是样本空间中的事件,且有P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035.由贝叶
6、斯公式得P(A1|B)=0.450.040.0350.514,P(A2|B)=0.350.020.0350.200,P(A3|B)=0.200.050.0350.286,所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.6（多选题）（2021江苏无锡市高二月考）在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,症状S 在病人中占60%.则()A.任意一位病人有症状S 的概率为0.02B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25【答案】
7、ABC【详解】P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,由全概率公式得P(S)=i=13P(Di)P(S|Di)=0.020.4+0.050.18+0.0050.6=0.02.由贝叶斯公式得:P(D1|S)=P(D1)P(S|D1)P(S)=0.020.40.02=0.4,P(D2|S)=P(D2)P(S|D2)P(S)=0.050.180.02=0.45,P(D3|S)=P(D3)P(S|D3)P(S)=0.0050.60.02=0.15.二、填空题7某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射
8、击，只有两个目标都射中才能过关某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为_【答案】0.4【详解】记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)0.8，P(B|A)0.5.所以P(AB)P(B|A)P(A)0.80.50.4，即这个选手过关的概率为0.4.8（2021全国高二单元测）10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为_【答案】【详解】设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).9（2021全国高二课
9、时练习）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为_【答案】0.4825【详解】用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)95.5%， P(A2)2%，P(A3)1.5%， P(A4)1%，P(B|A1)0.5， P(B|A2)0.15，P(B|A3)0.1， P(B|A4)0.05，所以10（2021全国高二单元测）
10、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)0.95，P(|)0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)0.005, 则P(C|A)_.(精确到0.001)【答案】0.087【详解】由题设，有P()1P(C)0.995，P(A|)1P(|)0.05，由贝叶斯公式，得P(C|A)0.087.三、解答题11已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样求下列事件的概率：(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；(3)正品、次品各一只；(4)第二次取出的
11、是次品【解析】设Ai第i次取正品，i1,2.(1)两只都是正品，则P(A1A2)P(A1)P(A2|A1).(2)两只都是次品，则P(12)P(1)P(2|1).(3)一只是正品，一只是次品，则P(A121A2)P(A1)P(2|A1)P(1)P(A2|1).(4)第二次取出的是次品，则P(2)P(A1212)P(A1)P(2|A1)P(1)P(2|1).12假定患有疾病d1,d2,d3中的某一个的人可能出现症状S=S1,S2,S3,S4中一个或多个,其中:S1=食欲不振 S2=胸痛S3=呼吸急促 S4=发热现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数据:疾病人数出现S中
12、一个或几个症状人数d17 7507 500d25 2504 200d37 0003 500试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,PD1=7 75020 000=0.387 5,PD2=5 25020 000=0.262 5,PD3=7 00020 000=0.35,PA|D1=7 5007 7500.967 7,PA|D2=4 2005 250=0.8,PA|D3=3 5007 500=0.5,所以PA=PD1PA|D1+PD2PA|D2+PD3PA|D3=0.387 50.967 7+0.262 50.8+0.350.50.76.由贝叶斯公式可得,PD1|A=PA|D1PD1PA=0.387 50.967 70.760.493 4,PD2|A=PA|D2PD2PA=0.262 50.80.760.276 3,PD3|A=PA|D3PD3PA=0.350.50.760.230 3.从而推测病人患有疾病d1较为合适.
