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1、第七讲函数的奇偶性与周期性班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内)1定义在R上的函数f(x)满足:f(x)f(x2)13,f(1)2,则f(99)()A13B2C. D.解析:由f(x)f(x2)13,知f(x2)f(x4)13,所以f(x4)f(x),即f(x)是周期函数,周期为4.所以f(99)f(3424)f(3).答案:C2(精选考题郑州)定义在R上的函数f(x)满足:对于任意,R,总有f()f()f()精选考题,则下列说法正确的是()Af(x)1是奇函数Bf(x)1是奇函数Cf(x)精选考题是奇函数Df(x)
2、精选考题是奇函数解析:依题意,取0,得f(0)精选考题;取x,x,得f(0)f(x)f(x)精选考题,f(x)精选考题f(x)f(0)f(x)精选考题,因此函数f(x)精选考题是奇函数,选D.答案:D3设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,已知x(0,1)时,f(x)log(1x),则函数f(x)在(1,2)上()A是增函数,且f(x)0C是减函数,且f(x)0解析:由题意得当x(1,2)时,02x1,0x10,则可知当x(1,2)时,f(x)是减函数,选D.答案:D4设f(x)是连续的偶函数,且当x0时是单调函数,则满足f(x)f的所有x之和为()A3 B3C8 D8解析:因为f(x)是
3、连续的偶函数,且x0时是单调函数,由偶函数的性质可知若f(x)f,只有两种情况:x;x0.由知x23x30,故两根之和为x1x23.由知x25x30,故其两根之和为x3x45.因此满足条件的所有x之和为8.答案:C5已知奇函数f(x)在区间3,7上是增函数,且最小值为5,那么函数f(x)在区间7,3上()A是增函数且最小值为5B是增函数且最大值为5C是减函数且最小值为5D是减函数且最大值为5解析:f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称f(x)在3,7上是增函数,f(x)在7,3上也是增函数f(x)在3,7上的最小值为5,由图可知函数f(x)在7,3上有最大值5.答案:B评析:本题既涉及到
4、函数的奇偶性,又涉及到函数的单调性,还涉及到函数的最值,是一道综合性较强的题目,由于所给的函数没有具体的解析式,因此我们画出函数f(x)在区间3,7上的示意图,由图形易得结论6(精选考题新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0),则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2解析:当x0,f(x)(x)38x38,又f(x)是偶函数,f(x)f(x)x38,f(x).f(x2),或,解得x4或x0.故选B.答案:B二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上)7(精选考题江苏)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数,则实
5、数a的值为_解析:设g(x)x,h(x)exaex,因为函数g(x)x是奇函数,则由题意知,函数h(x)exaex为奇函数,又函数f(x)的定义域为R,h(0)0,解得a1.答案:18已知函数f(x1)是奇函数,f(x1)是偶函数,且f(0)2,则f(4)_.解析:依题意有f(x1)f(x1),f(x1)f(x1),所以f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.答案:29(精选考题湖北八校)设函数f(x)的定义域、值域分别为A、B,且AB是单元集,下列命题若ABa,则f(a)a;若B不是单元集,则满足ff(x)f(x)的x值可能不存在;若f(x)具有奇偶性,则f(x)可能为偶函数;若f
6、(x)不是常数函数,则f(x)不可能为周期函数其中,正确命题的序号为_解析:如f(x)x1,A1,0,B0,1满足AB0,但f(0)0,且满足ff(x)f(x)的x可能不存在,错,正确;如,f(x)1,AR,B1,则f(x)1,AR是偶函数,正确;如f(x)x2k1,A2k1,2k,B0,1,kZ,f(x)是周期函数,但不是常数函数,所以错误答案:10对于定义在R上的函数f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为_若f(x)是奇函数,则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称;若对xR,有f(x1)f(x1),则yf(x)的图象关于直线x1对称;若函数f(x1)的图象关于直线x1对称,则f(
7、x)为偶函数;函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称解析:f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到,又f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以f(x1)的图象关于点A(1,0)对称,故正确;由f(x1)f(x1)可知f(x)的周期为2,无法判断其对称轴,故错误;f(x1)的图象关于直线x1对称,则f(x)关于y轴对称,故f(x)为偶函数,正确;yf(1x)的图象是由yf(x)的图象向左平移一个单位后得到,yf(1x)是由yf(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到,两者图象关于y轴对称,故错误答案:三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,
8、13题14分,写出证明过程或推演步骤)11已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a、b的值;(2)若对任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立,求k的取值范围分析:(1)由f(0)0可求得b,再由特殊值或奇函数定义求得a;(2)先分析函数f(x)的单调性,根据单调性去掉函数符号f,然后用判别式解决恒成立问题解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)0,即0b1,所以f(x),又由f(1)f(1)知a2.(2)由(1)知f(x),易知f(x)在(,)上为减函数又因f(x)是奇函数,从而不等式:f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)k2t2,即对tR有
9、:3t22tk0,从而412k0k.12设函数f(x)的定义域为R,对于任意的实数x,y,都有f(xy)f(x)f(y),当x0时,f(x)0,求证:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(,)上是减函数证明:(1)令xy0,得f(0)f(0)f(0),f(0)0.再令yx,得f(0)f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)为奇函数(2)设x1、x2(,)且x1x2,则x2x10,当x0时,f(x)0,f(x2x1)0.又对于任意的实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)且f(x)为奇函数,f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0,f(x)在(,)上是减函数13设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足f(x1x2);存在正常数a,使f(a)1.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.证明:(1)不妨令xx1x2,则f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函数(2)要证f(x4a)f(x),可先计算f(xa),f(x2a),f(xa)fx(a),(f(a)1)f(x2a)f(xa)a.f(x4a)f(x2a)2af(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数.