《2024年新高考数学一轮复习专题11 等差数列与等比数列（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新高考数学一轮复习专题11 等差数列与等比数列（原卷版）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题11 等差数列与等比数列一、知识速览二、考点速览知识点1 数列的有关概念1、数列的定义及表示（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法2、数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中nN*递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数M，使摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期数列对nN*，存在正整数常数k，使3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，
2、那么这个公式叫做这个数列的通项公式4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式知识点2 等差数列的概念及公式1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：(，为常数)2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：（2）前项和公式：（3）等差数列与函数的关系通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数
3、列前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.知识点3 等差数列的性质已知数列是等差数列，是其前项和1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：（2）若，则（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为（4）若是等差数列，则也是等差数列2、等差数列前项和的性质（1）；（2）；（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.（4）数列，构成等差数列3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为，则，；（2）若项数为，则，.知识点4 等比数列的概念及公式1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数
4、列的公比，公比通常用字母表示。数学语言表达式： (，为非零常数)2、等比中项性质：如果三个数，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：.（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.知识点5 等比数列的性质已知是等比数列，是数列的前项和1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，仍是等比数列，公比为.（2）若，（项数相同）是等比数列，则，仍是等比数列（3）若，则有口诀：下标和相等，项的积也相等推广：（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首
5、项，为公差的等差数列。（5）若是等比数列，则构成公比为的等比数列。2、等比数列前项和的性质（1）在公比或且为奇数时，仍成等比数列，其公比为；（2）对，有；（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.2、具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对
6、于符号交替出现的情况，可用或，处理.【典例1】（2023全国高三专题）已知数列，则该数列的第211项为（ ）A B C D【典例2】（2023全国高三专题）若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式不可能是（ ）A B C D【典例3】（2023全国高三专题）根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，； （2）（3）； （4）二、数列周期性解题策略1、周期数列的常见形式（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列2、解决此
7、类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和【典例1】（2023全国高三专题）（多选）已知数列满足，且，则（ ）A B C D【典例2】（2023全国高三专题）已知数列中，且，则 .【典例3】（2023全国高三专题）设数列满足，且，则数列的前2009项之和为 .三、求数列最大项或最小项的方法（1）将数列视为函数当xN*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项（3）比较法：若有（或时，），则，即数
8、列是递增数列，所以数列的最小项为；若有（或时，），则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为【典例1】（2023秋河北张家口高三统考开学考试）已知数列的前n项的积为，且，则数列（ ）A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项【典例2】（2023全国高三专题）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ）A B C2 D3【典例3】（2023秋湖北高三校联考阶段）（多选）已知数列的通项为，则（ ）A数列的最小项为 B数列的最大项为C数列的最小值为0.8 D数列的最大值为2.4四、等差数列的基本运算的解题策略1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a
9、1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法【典例1】（2023秋江西吉安高三校考开学考试）已知为等差数列，为其前项和，则（ ）A36 B45 C54 D63【典例2】（2023秋湖南益阳高三统考阶段）（多选）设等差数列的前项和为，若，且，则（ ）A B C D最大【典例3】（2023全国高三专题）已知等差数列的前n项和为，则实数m的值是 五、等差数列的判定与证明的方法：1、定义法：或是等差数列；2、定义变形法：验证是否满足；3、等差中项法：为等差
10、数列；4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；5、前n项和公式法：为常数为等差数列注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法【典例1】（2023福建校联考模拟预测）已知数列的首项不为零，满足，则 .【典例2】（2023全国高三专题）在数列中，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列.【典例3】（2023全国高三专题）记为数列的前项和已知证明：是等差数列；【典例4】（2023秋江苏南京高三统考开学考试）已知公比大于1的等比数列满足：，（1）求的通项公式；（2）记数列的前n项和为，若，证明：是等差数列六、等差数
11、列性质的应用1、在等差数列an中，当mn时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.2、等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3、等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.【典例1】（2023河南统考模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则（ ）A15 B30 C45 D60【典例2】（2022秋四川遂宁高三校考阶段）设等差数列中，则（ ）A6 B8 C10 D12七、等差数列的前n项和常用的性质应用1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2kSk，S3k
12、S2k，组成公差为k2d的等差数列2、数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数)数列为等差数列3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，.【典例1】（2023秋天津河东高三校考阶段）在等差数列中，已知，则（ ）A90 B40 C50 D60【典例2】（2023全国高三专题）已知是等差数列的前项和，若，则 .【典例3】（2022秋陕西榆林高三校考阶段）若等差数列，的前n项和分别为，且，则 .【典例4】（2022浙江高三专题）在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）A9 B10 C11 D12八、等差数列前n项和最值求法1、二次函数法： 将Snna1dn2n配方转化为求二次函数的最值问题，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2、邻项变号法：当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值特别地，若a10，d0，则S1是Sn的最小值；若a10，d0，则S1是Sn的最大值【典例1】（2023秋天津武清高三天津市武清区城关中学校考阶段）设等差数列的前项和为，若，则当取得最大值时， .【典例2】（2023四川南充模拟预测）等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）A60 B50 C D30【典例3】（2023秋
