《2024年新高考数学一轮复习专题10 复数及其应用（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新高考数学一轮复习专题10 复数及其应用（解析版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题10 复数及其应用一、知识速览二、考点速览知识点1 复数的基本概念1、复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.2、复数的分类：3、复数的有关概念复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复数的模向量OZ的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，a，bR)知识点2 复数的几何意义1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；3、复数的几何
2、表示：复数zabi复平面内的点Z(a，b)平面向量知识点3 复数的四则运算1、复数的运算法则设， (a，b，c，dR)，则：（1）z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；（2）z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；（3）z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；（4）2、复数运算的几个重要结论（1）|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)（2）z|z|2|2.（3）若z为虚数，则|z|2z2.（4）(1i)22i.（4）i；i.（5）i4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i.知识点4 复数的三角形式1、复数的辅角（1）辅角的定义：设复数z=a+
3、bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z的辅角.（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍.规定：其中在00时，arg z=2【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义（1）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2)，则z1z1=r1r2cos1+2+isin1+2这就是说
4、，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。（2）复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转2（如果20，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角2），再把它的模变成原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2，这就是复数乘法的几何意义。（3）复数乘法运算三角表示推广：z1z2zn=r1cos1+isin1r2cos2+isin2rncosn+isinn =r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n) 特别的，当z1=z2=zn=r(cos+isin)时，
5、r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn)5、复数除法运算的三角表示及其几何意义（1）复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2)则z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2cos12+isin12这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.（2）两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转2（如果20，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角2），再把它的模变成
6、原来的1r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是商z1z2，这就是复数除法的几何意义。一、复数的分类对于复数abi，（1）当且仅当b0时，它是实数；（2）当且仅当ab0时，它是实数0；（3）当b0时，叫做虚数；（4）当a0且b0时，叫做纯虚数【典例1】（2023秋江西南昌高三南昌市外国语学校校考阶段练习）若复数（为虚数单位，且）为实数，则（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，又为实数，则，即.故选：D.【典例2】（2023全国高三专题练习）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）A B4 C2 D【答案】B【解析】.依题意得，得.故选：B【典例3】（2023全国高三专题练习）已知复数是虚数
7、，则实数m的取值范围是（ ）AR B C D【答案】C【解析】由题意可得：，则，故实数m的取值范围是.故选：C.二、求复数标准代数式形式的两种方法1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。【典例1】（2023秋山东泰安高三统考阶段练习）若，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由，得，.故选：B.【典例2】（2023河南统考模拟预测）已知复数的共轭复数为，且，则（ ）A B1 C2 D3【答案】D【解析】由题意
8、，则，即， 化简得，所以，解得，所以.故选：D.三、复数的几何意义（1）任一个复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的（2）一个复数zabi(a，bR)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的【典例1】（2023河南驻马店统考模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】由题意，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.【典例2】（2023秋江苏苏州高三统考开学考试）已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【解析
9、】因为，所以，所以，复数z在复平面上对应的点为，位于第四象限.故选：D.四、虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1i，i21，i3ii2i，i4i3iii1，从而对于任何nN，都有i4n1i4ni(i4)nii，同理可证i4n21，i4n3i，i4n41.这就是说，如果nN，那么有i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41.由此可进一步得(1i)22i，(1i)22i，1，i，i.【典例1】（2023全国高三专题练习）已知i为虚数单位，则= .【答案】-1【解析】，且，由于，故.故答案为：【典例2】（2023秋上海浦东新高三上海市实验学校校考开学考试）
10、若，其中是虚数单位，则 【答案】【解析】由，则，所以，则.故答案为：五、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求解方法：（1）求根公式法：当0时，x=bb24ac2a 当0时，arg z=2【典例1】（2023全国高三专题练习）（多选）已知为虚数单位，则下列选项不是的三角形式的有（ ）A BC D【答案】ABC【解析】由，所以，所以A、B、C不对，D对.故选：ABC【典例2】（2023全国高三专题练习）（多选）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（ ）A B C D【答案】BD【解析】由题意可知，又，则，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为，故可以作为复数的辐角的是，当时，.故选：BD.【典例3】（2023全国高三专题练习）复数的三角形式是（ ）A BC D【答案】D【解析】依题意，令，则，所以，因为，所以，所以的三角形式是.故选：D.易错点1 忽视复数是纯虚数的充要条件点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0.【典例1】（2023秋辽宁沈阳高三沈阳二十中校考开学考试）若为纯虚数，则复数的虚部为 .【答案】【解析】由复数，因为复数
