《专题12 极坐标参数方程不等式（学案）-高考数学二轮复习专题新构想》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题12 极坐标参数方程不等式（学案）-高考数学二轮复习专题新构想（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题12 选考内容一、考纲要求极坐标与参数方程解答题，作为两个选考大题之一，主要考查：直线与圆的极坐标方程以及极坐标与直角坐标的互化；直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参数方程与普通方程的互化不等式是高中数学的基本内容，高考主要考查不等式的性质、简单不等式的解法、基本不等式的应用以及二元一次不等式组与简单线性规划问题对不等式的考查体现综合性和应用性，与其他知识综合，与数学思想方法紧密结合二、知识精粹1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设点M的直角坐标、极坐标分别为（x，y）和（r，q），则 或 r2 = x2 + y2，（x0）2
2、直线的极坐标方程过点M（r0，q0）且极轴与直线l所夹角为a 的直线方程为特殊的：（1）直线过极点：q =a（rR）；（2）直线过点M（a，0）（a0）且垂直于极轴：r cosq = a；（3）直线过M（b，）且平行于极轴：r sinq = b3圆的极坐标方程若圆心为M（r0，q0），半径为r的圆方程为 r22r0r cos(qq0) + r02r2 = 0特殊的：（1）当圆心位于极点，半径为r：r = r；（2）当圆心位于M（r，0），半径为r：r = 2r cosq；（3）当圆心位于M（r，），半径为r：r = 2r sinq4直线的参数方程经过点P0（x0，y0），倾斜角为a 的直线的参
3、数方程为（t为参数）设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量5圆的参数方程圆心在点M（x0，y0），半径为r的圆的参数方程为（q 为参数，0q2p）6圆锥曲线的参数方程（1）椭圆（ab0）的参数方程为（q 为参数）（2）双曲线（a0，b0）的参数方程为（q 为参数）（3）抛物线y2 = 2px（p0）的参数方程为（t为参数）7含有绝对值的不等式的解法（a0）（1）f（x）a f（x）a 或 f（x）a（2）f（x）a af（x）a（3）xa+xbc（或xa+xbc）不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；法三：
4、通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想8绝对值三角不等式aba ba+b此性质可用来解不等式或证明不等式9基本不等式定理1 若a，bR+，则，当且仅当a = b时，等号成立定理2 若a，b，cR+，则，当且仅当a = b = c时，等号成立10柯西不等式（1）若a，b，c，dR，则（a2 + b2）（c2 + d2）（ac + bd）2，当且仅当ad = bc时等号成立（2）柯西不等式的向量形式：设a，b 为平面上的两个向量，则abab，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立11证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法另外还有拆项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法等1在平
5、面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系曲线C1的参数方程为（j 为参数），曲线C2的极坐标方程为（r0），且C1与C2交点的横坐标为（1）求曲线C1的直角坐标方程（2）设A，B为曲线C1与y轴的两个交点，M为曲线C1上不同于A，B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P，Q两点，求证：为定值解：（1）曲线C1的直角坐标方程为，曲线C2的方程为，可知它们的交点为，代入曲线C1的普通方程可求得a2 = 4，所以曲线C1的普通方程为（2）由（1）可知曲线C1为椭圆，不妨设A为椭圆C1的上顶点，则A的坐标为（0，1）设，因为直线与分别
6、与轴交于两点，所以，由斜率计算公式可得到，所以，因此为定值42在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y = kx+ 2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2 +2 cos3 = 0（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解：（1）曲线C2的极坐标方程为2 + 2cos3 = 0，转换为直角坐标方程为x2 + y2 + 2x3 = 0，配方为标准式（x + 1）2 + y2 = 4（2）由于曲线C1的方程为y = kx+ 2，则该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点，所以必有一
7、直线相切，一直线相交则圆心到直线y = kx + 2的距离等于半径2，故，解得或0，或或0（k = 0舍去）经检验，直线与曲线C2没有公共点故C1的方程为说明：本题主要考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，画图数形结合更直观3在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）（1）若a =1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），化为标准方程是；a =1时，直线l的参数方程化为一般方程是x + 4y3 = 0联立与x + 4y3 = 0组成
8、方程组，解得（x，y）=（3，0）或（，），所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是x + 4ya4 = 0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosq，sinq），q0，2），所以点P到直线l的距离d为：，j 满足，且的d的最大值为 当 a40时，即a4时，5 sin（q + 4）a45a4= 5 + a + 4 = 17，解得a = 84，符合题意 当 a40时，即a4时，5 sin（q + 4）a45a4= 5a4 = 1a = 17，解得a =164，符合题意说明：本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据
9、曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a4在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： = 4 cosq（1）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）直线C3的极坐标方程为q = a0，其中a0满足tana0 = 2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a解：（1）由 可得 x2 +（y1）2 = a2 C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆，化为一般式 x2 + y22y + 1a2 = 0 由 x2 + y2 = 2，y = sinq，得 22sinq + 1a2 = 0（2）C2： = 4 co
10、sq，两边同时乘得2 = 4 cosq， x2 + y2 = 4x，即（x2）2 + y2 = 4 由C3：q = a0，其中a0满足tana0 = 2，得y = 2x 曲线C1与C2的公共点都在C3上， y = 2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程由，得 4x2y + 1a2 = 0，即为C3， 1a2 = 0， a = 1（a0）说明：本题考查参数方程及简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，还考查了两圆公共弦所在直线方程的求解5在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（q 为参数），直线l的参数方程为（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的
11、中点坐标为（1，2），求l的斜率解：（1）曲线C的参数方程为（q为参数），化为直角坐标方程是直线l的参数方程为（t为参数），化为直角坐标方程是x sinay cosa + 2 cosasina = 0（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程，得 ，整理，得（4 cos2a + sin2a）t2 +（8cosa + 4sina）t8 = 0，则 由于（1，2）为中点坐标， 当直线的斜率不存在时，x = 1，无解，故舍去 当直线的斜率存在时，由于t1和t2为A、B对应的参数，所以利用中点坐标公式 ，则 8 cosa + 4 sina = 0，解得 tana =2，即直线l的斜率为2说明：本题主要考查参
12、数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用6在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 cosq = 4（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OMOP= 16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解：（1）曲线C1的直角坐标方程为x = 4设P（x，y），M（4，y0），则， y0 = OMOP= 16， ，即（x2 + y2）（1 +）= 16， x4 + 2x2y2 + y4 = 16x2，即（x2 + y2）2 = 1
13、6x2，两边开方得 x2 + y2 = 4x，整理，得（x2）2 + y2 = 4（x0）， 点P的轨迹C2的直角坐标方程为（x2）2 + y2 = 4（x0）（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，OA= 2， 曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d =， AOB的最大面积S =说明：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系7在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x + 6）2 + y2 = 25（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，AB=，求l的
14、斜率解：（1） 圆C的方程为（x + 6）2 + y2 = 25，即 x2 + y2 + 12x + 11 = 0，而 2 = x2 + y2，x = cosa，y = sina， C的极坐标方程为 2 + 12 cosa + 11 = 0（2） 直线l的参数方程是（t为参数）， 直线l的一般方程为 y = x tana l与C交与A，B两点，AB=，圆C的圆心C（6，0），半径r = 5， 圆心C（6，0）到直线距离，解得 tan2a =， tana = l的斜率k =说明：本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、圆的性质的合理运用8在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为（q 为参数），过点（0，）且倾斜角为a 的直线l与O交于A，B两点（1）求a 的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程解：（1） O的参数方程为（q 为参数）， O的普通方程为x2 + y2 = 1，圆心为O（0，0），半径r = 1当a =时，过点（0，）且倾斜角为a 的直线l的方程为x = 0，成立；当
