《人教A版高中数学(必修第二册）同步讲义第15讲 余弦定理、正弦定理应用举例（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学(必修第二册）同步讲义第15讲 余弦定理、正弦定理应用举例（含解析）（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第15 课 余弦定理、正弦定理应用举例 目标导航课程标准课标解读1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力3.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.4.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键.5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用知识精讲知识点01 基线的概念与选择原则1定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基
2、线2性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高【即学即练1】已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B岛与C岛之间的距离是()A10 海里 B.海里C5 海里 D5 海里答案D解析如图所示，C180607545，AB10 (海里)由正弦定理，得，所以BC5(海里)知识点02 测量中的有关角的概念1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角(如图所示)2方向角从指定方向线到目标方向线所
3、成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60. (如图所示)【即学即练2】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin .解(1)依题意，知BAC120，AB6，AC5210.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC621022610cos 120196，解得BC14，v甲7，所以渔船甲的速度为7 n mile/h.(2)在ABC中，AB6，BAC120
4、，BC14，BCA.由正弦定理，得，即sin .知识点03 三角形的面积公式1已知ABC的内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则ABC的面积公式为(1)S absin Cbcsin Acasin B；(2)Sahabhbchc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)2ABC中的常用结论(1)ABC180，sin(AB)sin C，cos(AB)cos C；(2)大边对大角，即abAB sin Asin B；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边【即学即练3】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab5，c，且ccos Aab.(1)求C的大小；(2)求A
5、BC的面积解(1)由正弦定理，得sin Ccos Asin Asin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，即sin Asin Acos C，sin A0，cos C，又C(0，)，C.(2)由余弦定理，得c2a2b22abcos C，即7a2b2ab，7(ab)23ab253ab，故ab6，SABCabsin C6，故ABC的面积为.反思感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用能力拓展考法01 距离问题【典例1】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得ACB60，BCD
6、45，ADB60，ADC30，求A，B两点的距离解在BCD中，BDC603090，BCD45，CBD9045BCD，BDCD40，BC40.在ACD中，ADC30，ACD6045105，CAD180(30105)45.由正弦定理，得AC20.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosBCA(20)2(40)222040cos 602 400，AB20，故A，B两点之间的距离为20 m.反思感悟求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形(2)把实际问题里的条件和所求转换成
7、三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解【变式训练】如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度是_ m.答案60解析tan 30，tan 75，又ADDB120，ADtan 30(120AD)tan 75，AD60，故CD60.即河的宽度是60 m.考法02 高度问题 【典例2】珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，
8、再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70，80，则A，B的高度差约为()A10米 B9.72米C9.40米 D8.62米答案C解析根据题意画出如图的模型，则CB10，OAB70，OAC80，所以CAB10，ACB10，所以AB10，所以在RtAOB中，BO10sin 709.4(米)反思感悟 测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转
9、化为平面问题(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路【变式训练】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是()A10 m B10 mC10 m D10 m答案D解析在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，故BC10(m)在RtABC中，tan 60，故ABBCtan 6010(m)考法03 角度问题【典例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行
10、驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat(海里)，ACat(海里)，B18060120，由，得sinCAB，0CAB60，CAB30，DAC603030，甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇反思感悟测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解【变式训练】地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员
11、沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离解如图，在PAB中，PAB30，PA40 m，AB40 m.由余弦定理，得PB40(m)因为AB40 m，所以ABPB，所以APBPAB30，所以PBA120.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m.分层提分题组A 基础过关练1在中，的对边分别是，若，则的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角或直角三角形【答案】C【详解】三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形故选：C2下列命题中， 不正确的是（）A“若 ， 则” 的否命题为
12、假命题B在锐角 中， 不等式恒成立C在 中， 若， 则必是等腰直角三角形D在 中， 若， 则必是等边三角形【答案】C【详解】对于A，原命题的否命题为“若 ， 则”，由得，得或或，所以该否命题为假命题，故A正确；对于B，在锐角 中，因为,所以,因为,所以，又因为在单调递增，所以，即，故B正确；对于C， 在中，由 ，利用正弦定理可得： ，或，得 或，是等腰三角形或直角三角形，故C错误;对于D，由余弦定理得，又因为，所以，所以，又因为，所以是等边三角形，故D正确，故选:C.3如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（
13、）A北偏东方向上B北偏西方向上C南偏东方向上D南偏西方向上【答案】D【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形，所以，又，所以，所以，因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上故选：D4（多选）某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走到达处，这时他离出发点，那么的值可以是（）ABCD【答案】AB【详解】如图，由条件可知，根据余弦定理可知，即，解得：或 故选：AB5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，b1，则ABC的面积为_【答案】#【详解】由同角三角函数关系：，由三角形面积公式得：.故答案为：6在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是_（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）【答案】直角三角形【详解】方法一：所以的形状是直角三角形.方法二：又又即所以的形状是直角三角形.故答案为：直角三角形.7如图，小明同学在山坡上处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在处测得
