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1、 教学计划弹箭的飞行运动方程组与稳定理论（10学时）4.14.1 弹体质心弹体质心运动方程（掌握）运动方程（掌握）4.2 4.2 弹体刚体运动方程（了解）弹体刚体运动方程（了解）4.3 4.3 弹体飞行稳定理论（弹体飞行稳定理论（掌握掌握）在在弹弹箭箭设设计计、研研制制与与试试验验过过程程中中，为为了了达达到到所所需需要要的的射射程程，需需要要进进行行大大量量的的弹弹道道计计算算、分分析析与与试试验验。在在弹弹箭箭总总体体方方案案设设计计时时也也需需要要建建立立外外弹弹道道模模型型，进进行行计计算算机机仿仿真真。由由于于通通常常在在弹弹箭箭方方案案设设计计阶阶段段，还还不不知知弹弹丸丸的的具具
2、体体结结构构参参数数以以及及气气动动力力数数据据，难难以以进行进行弹丸刚体弹道计算。弹丸刚体弹道计算。4.1 弹体质心运动方程一、质心运动方程 因因此此，需需要要首首先先建建立立弹弹箭箭质质点点弹弹道道模模型型，进进行行弹弹道道计计算算分分析析，以以比比较较设设计计方方案案的的优优劣劣。而而当当弹弹箭箭已已经经设设计计好好后后，就就需需要要进进行行精精确确的的弹弹道道计计算算和和射射表表编编制制，此此时时，就就需需要要将将弹弹丸丸看看成成是是一一个个刚刚体体，考考虑虑影影响响其其飞飞行行性性能能的的各各种种因因素素，进进行行弹弹箭箭刚刚体体弹弹道道计计算，以获取弹丸设计方案的改进技术途径。算，
3、以获取弹丸设计方案的改进技术途径。4.1 弹体质心运动方程一、质心运动方程 对对于于飞飞行行稳稳定定性性良良好好的的弹弹体体，在在飞飞行行中中弹弹轴轴和和速速度度矢矢量量线线间间总总是是存存在在一一个个不不大大的的章章动动角角(攻攻角角)，因因而而气气流流对对弹弹体体的的速速度度矢矢量量线线就就不不再再对对称称，此此时时阻阻力力作作用用线线既既不不通通过过质质心心，也也不不与与速速度度矢矢量量线线平平行行，形形成成一一个个使使弹弹体围绕体围绕质心运动的静力矩。质心运动的静力矩。4.1 弹体质心运动方程二、基本假设C C=00C C6.1 基本假设基本假设 实际上实际上，对于飞行稳定的一般，对于
4、飞行稳定的一般弹体，弹体，章动角章动角 总总是很小，是很小，弹体围绕弹体围绕质心运动对其质心运动的影响不大。质心运动对其质心运动的影响不大。因而在研究因而在研究弹体质心弹体质心运动时，可以暂时忽略围绕运动时，可以暂时忽略围绕质心质心力矩对力矩对它的它的影响。影响。4.1 弹体质心运动方程二、基本假设 这样这样，弹体在弹体在空中的运动就成为一个复杂的刚体空中的运动就成为一个复杂的刚体运动，需要六个二阶微分方程来求解。三个描述弹丸运动，需要六个二阶微分方程来求解。三个描述弹丸的质心运动，三个描绘弹丸围绕其质心的运动。的质心运动，三个描绘弹丸围绕其质心的运动。6.1 基本假设基本假设 4.1 弹体质
5、心运动方程二、基本假设 则复杂则复杂的刚体在空中的运动简化成两个独立的的刚体在空中的运动简化成两个独立的方程组来研究：方程组来研究：一一组表示弹丸质心的运动组表示弹丸质心的运动(=0)=0)，而且是一个，而且是一个平面运动。由于平面运动。由于的实际存在，使迎面阻力的实际存在，使迎面阻力RxRx增大，增大，由增大的弹道系数由增大的弹道系数c c来修正；来修正；另一组表示弹丸围绕其质心的运动另一组表示弹丸围绕其质心的运动(弹丸的飞行弹丸的飞行稳定性理论）。稳定性理论）。4.1 弹体质心运动方程二、基本假设研究研究弹体质心弹体质心的运动，首先做基本假设：的运动，首先做基本假设：1.1.弹体外形弹体外
6、形和质量分布均为轴对称；和质量分布均为轴对称；2.2.弹体运动速度与弹轴之间的夹角弹体运动速度与弹轴之间的夹角(攻角攻角)为零为零;3.3.地表面为平面，即不考虑地球曲率的变化地表面为平面，即不考虑地球曲率的变化影响；影响；4.4.重力加速度的大小不变，方向始终铅垂重力加速度的大小不变，方向始终铅垂向下；向下；在在上述假设下来研究弹丸质心运动的问题叫上述假设下来研究弹丸质心运动的问题叫外弹道学基本问题外弹道学基本问题。4.1 弹体质心运动方程二、基本假设研究弹体质心的运动，首先做基本假设：研究弹体质心的运动，首先做基本假设：5.5.不考虑科氏不考虑科氏惯性力（因地球自转产生的力）的惯性力（因地
7、球自转产生的力）的影响，科氏加速度为零影响，科氏加速度为零 6.6.气象条件为标准气象条件，无风雨。气象条件为标准气象条件，无风雨。4.1 弹体质心运动方程二、基本假设对于外弹道学基本问题，其假设的依据为：对于外弹道学基本问题，其假设的依据为：1 1、对于、对于飞行稳定的飞行稳定的弹体，弹体，一般攻角总是很小，一般攻角总是很小，弹体围绕弹体围绕质质心运动对其质心运动的影响不大。心运动对其质心运动的影响不大。2 2、由于、由于制造公差严格控制，制造公差严格控制，弹体外形弹体外形不对称、质心偏离以不对称、质心偏离以及前后不共轴总是非常小的。及前后不共轴总是非常小的。3 3、重力加、重力加速度速度随
8、高度和纬度的微小变化，以及地表曲率的随高度和纬度的微小变化，以及地表曲率的微小变化和科氏加速度的影响等等，在射程不太大时，对微小变化和科氏加速度的影响等等，在射程不太大时，对弹道影响不大。弹道影响不大。4.1 弹体质心运动方程二、基本假设对于外弹道学基本问题，其假设的依据为：对于外弹道学基本问题，其假设的依据为：4 4、实际、实际气象条件气象条件(如气温、气压、风如气温、气压、风雨雨等等)，在弹丸方案设，在弹丸方案设计阶段进行弹道方案计算比较时，可以暂时忽略不计。计阶段进行弹道方案计算比较时，可以暂时忽略不计。在上述基本假设下，弹丸仅受重力和空气阻力的作用。在上述基本假设下，弹丸仅受重力和空气
9、阻力的作用。由由牛顿第二定律可以得到弹丸质心运动矢量方程：牛顿第二定律可以得到弹丸质心运动矢量方程：t 4.1 弹体质心运动方程三、主要变量 解决解决弹丸质心在空中运动，要知道变量弹丸质心在空中运动，要知道变量t t、x x、y y、v v和和五个变量之间的函数关系，如图所示。五个变量之间的函数关系，如图所示。以上五个变量均可以上五个变量均可作为自变量作为自变量来来组成组成弹体的弹体的质心质心运动方程组。运动方程组。4.1 弹体质心运动方程三、主要变量 但但实际上根据需要，常作为自变量的有实际上根据需要，常作为自变量的有t t、x x、y y等。有一些特殊问题中，也采取弹道弧长等。有一些特殊问
10、题中，也采取弹道弧长s s作为自变作为自变量，因为量，因为dsds=vdtvdt，s s可以消除系数中的变量可以消除系数中的变量v v，使方，使方程简化。在基本假设下作用于程简化。在基本假设下作用于弹弹体体的的力仅有重力和力仅有重力和空气阻力。据此可以写出弹丸质心运动的矢量方程空气阻力。据此可以写出弹丸质心运动的矢量方程:以以时间时间t t为自变量的弹丸质心运动方程组，常为自变量的弹丸质心运动方程组，常用的有与地球相固联的所谓直角坐标系和随质心用的有与地球相固联的所谓直角坐标系和随质心运动的速度坐标系运动的速度坐标系(自然坐标系自然坐标系)。4.1 弹体质心运动方程三、主要变量 4.1 弹体质
11、心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程 在在地面坐标系下的地面坐标系下的弹弹体体质心质心运动方程组，是将运动方程组，是将上述方程中的各项投影到地面坐标系内得到的上述方程中的各项投影到地面坐标系内得到的，如如下图。下图。地面地面坐标系坐标系与地面固连的坐标系，以弹道起与地面固连的坐标系，以弹道起点为坐标原点，以射击面和弹道起点水平面的交线点为坐标原点，以射击面和弹道起点水平面的交线为为x x轴，顺射向为正，轴，顺射向为正，y y轴铅直面向上为正，轴铅直面向上为正，z z轴方轴方向按右手法则确定；向按右手法则确定；4.1 弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程复习：复在基本假设下，基
12、本假设下，弹体仅弹体仅受重力和空气阻力作用，受重力和空气阻力作用，则由牛顿第二定律：则由牛顿第二定律：将矢量方程投影将矢量方程投影在在x x、y y轴上，有：轴上，有：4.1 弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程由于有：由于有：则则 4.1 弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程空气阻力加速度空气阻力加速度速度分量速度分量由于有：由于有：由于坐标由于坐标x x，y y对于时间对于时间t t的导数分别为：的导数分别为：4.1 弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程t基本基本假设条件下地面直角坐标系内假设条件下地面直角坐标系内弹体质心弹体质心运动方程组：运动方程组：
13、其中其中：由气温随高度分布的标准定律确定。由气温随高度分布的标准定律确定。积分初始条件为：积分初始条件为：4.1 弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程 4.1 弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程 4.1 弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程y yx xo o 4.1 弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程将重力加速度和空气阻力加速度分别向坐标轴将重力加速度和空气阻力加速度分别向坐标轴投影投影 则则得弹体在得弹体在速度坐标系下的质心运动方程组：速度坐标系下的质心运动方程组：式中：式中：由气温随高度分布的标准定律确定。由气温随高度分布的标准定律确定。积分初始条件
14、为：积分初始条件为：4.1 弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程c)c)以以s s为自变量的弹丸质心运动方程组为自变量的弹丸质心运动方程组 4.1 弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组 为了为了分析弹道特性、求解炸弹弹道或分析稳分析弹道特性、求解炸弹弹道或分析稳定性等的方便，经常选取坐标定性等的方便，经常选取坐标x x、y y或弹道弧长或弹道弧长s s为为自变量，来导出弹丸质心运动方程组。自变量，来导出弹丸质心运动方程组。a)a)以以x x为自变量的弹丸质心运动方程组为自变量的弹丸质心运动方程组b)b)以以y y为自变量的弹丸质心运动方程组为自变量的弹丸质心运动方程组 为
15、获得形式上比以时间为自变量的质心运动方程组为获得形式上比以时间为自变量的质心运动方程组(地面地面直角坐标系和速度直角坐标系和速度坐标系坐标系)更为简单的方程组，取横坐标更为简单的方程组，取横坐标x x为为自变量，则根据复合微分，有自变量，则根据复合微分，有新变量新变量P P，有：有：4.1 弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组又有：又有：4.1 弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组以以x x为自变量的弹丸质心运动方程组为：为自变量的弹丸质心运动方程组为：式中式中：积分初始条件为：积分初始条件为：4.1 弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组 为了为了求自
16、空中投掷炸弹的弹道，宜于取纵坐标求自空中投掷炸弹的弹道，宜于取纵坐标y y为自变量，为自变量，则根据复合微分，有：则根据复合微分，有：新变量新变量P P，有：有：4.1 弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组又有：又有：4.1 弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组以以y y为为自变量的弹丸质心运动方程组为：自变量的弹丸质心运动方程组为：式中式中：由气温随高度分布的标准定律由气温随高度分布的标准定律确定确定积分初始条件为：积分初始条件为：4.1 弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组以以s s为自变量的弹丸质心运动方程组（速度为自变量的弹丸质心运动方程组（速度坐标下坐标下t t换成换成s s）式中：式中：由气温随高度分布的标准定律确定。由气温随高度分布的标准定律确定。积分初始条件为：积分初始条件为：4.1 弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程 在弹丸设计过程中外在弹丸设计过程中外弹道设计的开始阶段，有弹道设计的开始阶段，有关参数如全部的气动力数关参数如全部的气动力数据等很少现成资料或者无据等很少现成资料或者无法法获得获得，因此，在只考虑
