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1、2023-2024学年永春华侨中学高二数学上学期期中考试卷高二数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。第卷一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1经过两点，的直线的倾斜角为，则（）ABC0D22已知，下列计算结果正确的是（）A
2、BCD3以点为圆心且与直线相切的圆的方程是ABCD4设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD5如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则|等于（）AB5CD56阿基米德(公元前年公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（）ABCD7直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为（）ABCD8若椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ ）ABCD二、多项选择题：本题共
3、4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9对于直线，下列说法正确的是（）A直线l恒过定点B直线l斜率必定存在C时，直线l的倾斜角为D时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为10已知圆，圆，下列说法正确的是（）A若，两圆相交弦所在直线为B两圆圆心所在直线为C过作圆的切线，切点为，则D已知两圆的位置关系是相切，则11我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：，为顶点，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A长轴长为4，短轴长为BC轴，且D四边形的内切圆过焦点，12如图，
4、棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段的动点，则下列说法正确的是（）A三棱锥的体积为定值B不存在点G，使得平面EFGC设直线FG与平面所成角为，则的最大值为D点F到直线EG距离的最小值为第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13经过直线和的交点且与直线平行的直线方程为 .14双曲线的焦点为，点P在双曲线上，若，则 .15设，若，则 16已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为，则的离心率为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17求下列各曲线的标准方程(1)长轴长为12，离心率为，焦
5、点在x轴上的椭圆；(2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线18已知直线和圆(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；(2)求过点且与圆相切的直线方程19如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2， ，PD底面ABCD(1)证明：平面PBC平面PBD；(2)若二面角P-BC-D为 ，求AP与平面PBC所成角的正弦值20设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.21如图，正方体的棱长为2，E、F分别为和的中点.(1)求证：平面，(2)为棱上的动点，当平面与平面所成锐二
6、面角的正弦值最小时，求.22已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为(1)求椭圆的标准方程；(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标试卷第5页，共5页参考答案：1B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，又因为，所以，解得.故选：B.2D【分析】由空间向量的坐标运算，垂直的坐标表示及模的公式求解.【详解】，故A错误；，则不垂直，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.3C【分析】根据题意，结合点到直线距离公式，求出圆的半径，即可得出结果.【详解】由
7、题意知，圆的半径，故所求圆的方程为.故选C【点睛】本题主要考查求圆的方程，根据题意求出半径，即可求解，属于基础题型.4C【分析】依题意可得，即可求出、，再根据，即可求出，从而求出双曲线方程，最后求出渐近线方程；【详解】解：依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；故选：C5A【分析】用，表示出，计算再开方即可得出答案.【详解】O2MO1O2，O1NO1O2，0，0，又35cos60.，2（）2222+2229+16+25+1565，|.故选：A.6A【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案【详解
8、】解：由题意，设椭圆C的方程为，因为椭圆的离心率为，面积为，所以，解得，所以椭圆C的方程为，故选：A.7D【分析】曲线是一个半圆，画出草图，结合图像分类讨论即可.【详解】，曲线是一个半圆，如图所示：当直线与曲线相切时，可得 ，解得 ，由图可知 ，此时满足直线与曲线有且仅有一个公共点，当直线在两点之间运动时，直线与曲线有且仅有一个公共点，综上所述，或故选：D8A【分析】设直线交椭圆于，把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程【详解】设弦所在的直线与椭圆交，则，两式相减得：，因为弦中点为，所以，所以，即则直线方程为：,化简得 故选：A【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关
9、系， “点差法”的解题思想方法，直线方程的求法，属于中档题9AD【分析】令即可找到定点，即可判断A；利用特殊情况即可判断B；根据直线的斜率与倾斜角的关系即可判断C；求出直线l与两坐标轴的交点坐标，进而判断D.【详解】对于直线，令，则，所以直线l恒过定点，故A正确；当时，直线，斜率不存在，故B错误；当时，直线，斜率为，此时直线l的倾斜角为，故C错误；当时，直线，与与两坐标轴的交点坐标为，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为，故D正确.故选：AD.10BC【分析】根据相交线的定义，利用两圆方程相减即可求解A，根据两点坐标即可求解B，根据直线与圆的关系即可利用勾股定理求解C，根据两圆位置关系即可求
10、解D.【详解】当时，两圆方程相减可得，所以相交弦所在直线方程为，故A错误，由于,所以两圆圆心所在直线为，B正确，由于,所以,故C正确，当两圆外切时，即，当两圆内切时，即，故两圆的位置关系是相切，则或，故D错误，故选：BC11BD【分析】根据椭圆的性质结合解直角三角形一一计算判定即可.【详解】对于A项，若长轴长为4，短轴长为，可知此时，即A错误；对于B项，若，此时，即，符合定义，即B正确；对于C项，若轴，且，易得，且，则，即C错误；对于D项，若四边形的内切圆过焦点，则O到直线的距离为，此时，解之得，又，符合定义，即D正确.故选：BD12AD【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，根据平行得到，
11、A正确，当时，平面EFG，B错误，计算的最小值为，C错误，计算投影最大为，计算得到D正确，得到答案.【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，.对选项A：由正方体以及面面平行的性质可得，平面，线段上的G到面距离为，故，.则为定值，正确；对选项B：若存在点G，使平面EFG，设，则.，故，又由，平面EFG，故平面EFG，存在点G满足要求，不正确；对选项C：过F作，垂足为，则平面，则即为所求线面角，当时，所求角最大，此时最小，错误；对选项D：，故在方向上投影长度为，当时，投影最大为，又，所以点F到直线EG距离的最小值为，正确.故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查了三棱锥的体积，线面垂直
12、，线面夹角，点到直线的距离，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系，将空间中的关系转化为向量运算，是解题的关键.13【分析】先联立方程求出交点，设出与直线平行的直线方程，代入交点即可求出.【详解】联立方程，求得交点为，设与直线平行的直线方程为，将代入可得，所以所求直线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线交点的求法，考查平行直线的求法，属于基础题.1420【分析】先由双曲线方程求出，然后根据双曲线的定义求解即可.【详解】由，得，得，因为，所以或，解得（舍去），或，故答案为：20159【分析】根据题意，由共线向量定理即可得到的坐标，再由空间向量的坐标运算即可
13、求得模长.【详解】由，得，解得，故答案为：916【分析】根据椭圆的对称性和推出，再根据面积以及椭圆的定义推出的关系式，可得离心率.【详解】因为点为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，即，所以，由椭圆定义与勾股定理知：，所以，所以，所以，即C的离心率为故答案为：17(1)(2)【分析】（1）由条件求出，根据椭圆的焦点位置写出椭圆的标准方程；（2）由条件求出，根据双曲线的焦点位置写出双曲线的标准方程.【详解】（1）由题意，又，即，又焦点在轴上，椭圆的标准方程为.（2）由题意，双曲线焦点在轴上，即，双曲线的标准方程为.18(1)相交，截得的弦长为2.(2)或.【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，直线被圆截得的弦长为.（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意；若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或.19(1)证明见解析；(2) .【分析】（1）由勾股定理的逆定理知，由已知线面垂直得到，再由线面垂直的判定定理得线面垂直
