2022年高考真题——数学（天津卷）+含解析

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)2022.06.一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 U=-2,-1,0,1,2,集合 4 =0,1,2,B=-1,2,则人0&5)=()A.0,1 B.0,1,2 C.-1,1,2 D.0,-1,1,2【答案】A【解析】【分析】先求出即3,再根据交集的定义可求AP I(6 8).【详解】=-2,0,1),故A n(d 3)=0,l ,故选：A.2.“x为整数”是“2x +l为整数”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不允分也不必要【答案】A【解析】

2、【分析】依据充分不必要条件的定义去判定 x为整数 与 2x +l为整数”的逻辑关系即可.【详解】由题意，若x为整数，则2x +l为整数，故充分性成立；当x =L时，2 x+l为整数，但x不为整数，故必要性不成立；2所以“x为整数，是“2 x+l为整数”的充分不必要条件.故 选:A.【答案】D【解析】【分析】分析函数/(X)的定义域、奇偶性、单调性及其在(-8,0)上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函 数 同=忙 斗 的 定 义 域 为 中 工0 ,口 (-*)-1 l x2-11艮 /(-X)=-=-=_/(尤)-X X函数”X)为奇函数，A选项错误；又当x 1时，=-=二L

3、 x函数单调递增,故B选项错误；XXX故选：D4.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：k P a)的分组区间为 12,13),13,14),口4/5),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，,第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A.8 B.12 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为20(0.24 +0.

4、16)x 1=50,所以第三组人数为50 x 0.3 6=18,有疗效的人数为18-6=12.故选：B.5.已知a =2，7，c=l o g 2(,则()A.a c h B.b c a C.abc D.c a h【答案】C【解析】【分析】利用幕函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、h.c的大小关系.【详解】因为 0 =l o g21 l o g2,故abc.故答案为：C.6.4 4：(2 l o g4 3+l o g8 3)(l o g3 2+l o g9 2)(f ()A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式=(2x；l o g

5、23 +|l o g23)(l o g32+|l o g32)4 3=-l o g23 x-l o g32=2,故选：B2 27.已知抛物线V =4 6工,6,鸟 分别是双曲线*-方=i(a o,/；()的左、右焦点，抛物线的准线过双曲JT线的左焦点耳，与双曲线的渐近线交于点A,若/白64=1，则双曲线的标准方程为()A.-/=1io-2B .尤2 -2_ =116C炉/J A-14D.y2=4 -【答案】c【解析】【分析】由已知可得出C的值，求出点A的坐标，分析可得|A耳|=忻 用，由此可得出关于。、匕、C的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛 物 线 尸=4石 的

6、准线方程为尤=一6，则c =&，则4-6,0)、乙(石，。卜不妨设点A为第二象限内的点，联立by xa，可得,x=-cx=-cbeay，即点A-C j,TT因为A耳，与鸟且/片 工4 =1,则为等腰直角三角形,且|明|=|耳闾,即 生=2 c,可得2 =2,a所以，噎ac=5/5c2=a2+b2，解得a=12b=2,因此，双曲线的标准方程为炉2L =i.4C=yJ5故选：C.8.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为()十字C.26D.27【答案】D【解析】【分析】作出几何体直观图，由题意结合几

7、何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱AED-BHC及直三棱柱DGC AEB组成，作于M,如图,因为 C”=5H=3,NC”B=120。，所以 CM=BM=典,HM=-.22因为重叠后的底面为正方形，所以48=8。=3 6，在直棱柱AED3/7C中，ABJ_平面8H C,则由 ABC8C=3可得 HM 平面 40cB,设重叠后的EG与FH交点为人则匕月x3有 白 条 匕 如 1为昌为百个J 乙 乙 乙 乙 TQ 1 77则该几何体的体积为 V=2 VAFD_BHC-V,_BCDA=2X-=2 7.故选：D.V3立彳彳9.已知/(x)=；s i n 2x,关于该函数有下列四个

8、说法：/(X)的最小正周期为2兀；/(x)在-：,刍上单调递增；4 47 1 兀当工 时，/的取值范围为6 3 _/(X)的图象可由g(x)=!s i n(2x+工)的图象向左平移9个单位长度得到.2 4 8以上四个说法中，正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假.【详解】因为/*)=51 S i n 2x,所 以 最 小 正 周 期 为7 =号27 r=兀，不正确；令f=2x e -3,而y=，s i n f在 一上递增，所以/在-：,9 上单调递增，正确；因为2 2 2 2 2 4 4/=2x e -

9、y,s i n Z 6 -,1,所以-，,不正确;1 兀 1由于 g(X =-s i n(2x+)=s i n1 兀,所以一(X)的图象可由g(x)=-s i n(2x +/的图象向右平移三个单位长度得到，不正确.O故 选:A.第II卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.11-3 i1 0.已知i是虚数单位，化 简-的结果为1+21【答 案】l-5 i#-5 i+l【解 析】【分 析】根据复数代数形式的运算法则即可解出.【详 解】1 1-3i _(11-3 i)(l-2 i)_ 11 6-25i _1_5,l+2i-(l+2

10、i)(l-2 i)1 故答案为：15i.11.的展开式中的常数项为【答 案】15【解 析】【分 析】由题意结合二项式定理可得的 展 开 式 的 通 项 为 心5-5r=C；-3r-x，令5-5 r2=0,代入即可得解.【详 解】由题C意 1-+3 1 的展开式的通项为工句=/(L)5-r 三3 JY =C-3 X 2S Sr令，=()即/*=1，则C 3=C；3=15,展开式中的常数项为15.故答案为：15.【点 睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.1 2.若 直 线x-y+m =0（加0）与 圆（一1）2+（丁一1）2=3相 交 所 得 的 弦 长 为 加，则?=

11、【答 案】2【解 析】【分 析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于加的等式，即可解得”的值.【详 解】圆（x l+（y 1 1=3的圆心坐标为。），半径为圆心到直线x-y+m =0（机0）距离为2由勾股定理可得+m 1=3,因为加 0,解得加=2.故答案为：2.13 .52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到4的概率为；已知第一次抽到的是4,则第二次抽取A的概率为.【答案】.一 221 17【解析】【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为民第二

12、次抽到A的事件为C,则P g/x方言$=标(切=甯=?=13故答案为:122111714.在AABC中，CA =a,CB=b,。是4 c中点，C B =2 B E，试 用 表 示 方方为若A B D E，则N A C B的最大值为3 1 TT【答 案】.b a .2 2 6【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出方后，以-，4为基底，表示出存，砺，由45_ 1。后可得3+片=4小 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),8(1,0),C(3,0),4x,y),由可得点A的轨迹为以M(-l,0)为圆心，以厂=2为半径的

13、圆，方程为(x+1尸+9=4,即可根据几何性质可知，当且仅当C4与。”相切时，/C最大，即求出.【详解】方法一：pE h +ct 273lai bl J3.3万+a=4 a|_ 旧=L 旧之 I-IJ-=7,当且仅当同=6 同时取等号，而a 4 a 4 a p 2 1 1T C0 Z A C B 10【解析】【分析】设g(x)=f-公+3 a-5,(力=国一2,分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出?(),求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数。的不等式，综合可求得实数。的取值范围.【详解】设8(力=幺 一 分+3a-5 ,/z(x)=|x|-2,由凶一2

14、=0可得x =2.要使得函数/(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则A =/12Q +2020，解得。2或。2 10.当4 =2时，g(x)=f 2X+1,作出函数g(x)、(x)的图象如下图所示：此时函数/(力 只有两个零点，不合乎题意；当a 2时，设函数g(x)的两个零点分别为X、毛(玉 1 0时，设函数g（x）的两个零点分别为七、彳4（七 2可得彳2,解得a 4,此时a 1（）.g =4+a-5 0综上所述，实数。的取值范围是 10,+8）.故答案为：10,+8）.【点睛】方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方

15、程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在AABC中，角A、B、C的对边分别为a,h,c.已知。=遥 力=2c,c os A =.4（1）求。的值；（2）求s i n B的值；（3）求s i n（2A B）的值.【答案】（1）c =l力*加（2）s i n B=-4（3）sin（2A-B）=-【解析】【分析】（1）根 据 余 弦 定 理

16、 储=+。2一20ccosA以及。=2c解方程组即可求出;（2）由（1）可求出8=2,再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根据两角差的正弦公式即可求出.【小 问1详解】因为/=b?+?-20ccosA，即6=？+。2+,匕。，而。=2c，代入得6=4c?+c2+c2,解得：c=I.2【小问2详解】由（1）可求出人=2,而0 4 兀，所以sin A=嬴7 =也2,又，一=一,所以4 sin A sin B9gnZ?sin A x 4 V10.sin B=-=-=-a V6 4【小问3详解】因为 cos A=-,所以一 A?t,故 0B（0,1,0）、（1,0,0）、易知平面ABC的一个法向量为五=（1,0,0）,则 丽.送=0，故巨声_1_而,防u 平面A B C,故EFH平面ABC.【小问2详解】解：束=（2,0,0）,qI5=（O,l,-2）,丽=（1,2,0）,设平面CG。的法向量为二=(Xi，M，z J,则w CC=2%=0w CjD=y-2Z=0取y=2,可得7=（0,2,1）,cos=4因此，直线BE与平面CC|O夹角的正弦值为g.【小