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1、双曲线选择题一、单选题1.过点(0,-2)的直线与抛物线丁=也 交于4 8两点,若线段A B中点的横坐标为2,则|知=()A.2旧 B.V17 C.2715 D.V15【详解】设直线方程为丫=丘-2,A&,y),3 ,%),联立方程组y=kx-2y2=8x整 理 得/f 一4(Z+2)X+4=0,因为直线与抛物线交于AB两点,所以A=16(Z+2)2-16公 0,解得火-1,因为线段AB中点的横坐标为2,可得上白=等罗=2,所以火=2或Z=1 (舍),乙 K所以412-16*+4=0,可得%+=4,苫=1,则|=J +k2 卜1 -&|=/1+22 +x2)2-4x,x2=5(4。-4)=2/
2、15.故选:C.2.已知直线/:y=x-l与抛物线C:y2=2px(p0)相交于A、B两点,若AB的中点为N,一 一.2_且抛物线C上存在点M,使得。A+OB=OM(。为坐标原点),则。的 值 为()A.4 B.2 C.1 D.g【详解】解:设人(西,凶),8(孙力),联立,2 r 得:y2-2py-2p=0,解得:%,+x2=2p+2,y,+y2=2p,因为 N 为 A8 的中点,所以 N(p+l,p),又因为加+诙=2两,所 以 有 的=3而,即M(3p+3,3p),点M在抛物线上,代入可得9P2=2p(3p+3),解得:p=2.故选:B.3.已知4 B,C是椭圆:摄+%=1(。小0)上不
3、同的三点,且原点。是OZBC的重心,若点C的坐标为挚直线N8的 斜 率 为-且,则椭圆的离心率为()I 2 2)3A.1 B.侦 C.也 D.立3 3 3 3【详解】设 A8的中点。,因为原点。是口N B C 的重心,所以C O,。三点共线,所以七 口 =k 0c,t_ b2 b(b2 b _ 版 N 2 /2由于自 7=-7=-=一 一=,所以e =a yJ 3a 3 J a a 3 3故选:B.4.已知圆C:/+y2-1 6 y+4 8 =0 与双曲线E:展 方=l(a 0 为 0)的渐近线相切,则 E的离心率为()A.2 B.生色 C.空 D.y/29 3【详解】由/+/-1 6),+4
4、 8 =0 得/+(),-8)2=4 2,所以圆心。(。,8),半径r=4,双曲线E:,一鸟=1(。0 川 0)的一条渐近线为-刀=0,由题意得圆心到渐近线的距离公 产L=验=4,所以=1 c,J a2+b2。2所以 a =y/c2 b2=c,所以 e =2 G .2 a 3故答案为:空.32 25.已知椭圆。言+%=1(。2 0)的左、右焦点分别是耳,尸 2,直线丫=丘与椭圆C 交于A,8 两点,H用=3忸制,且 4;A K=6 0。,则椭圆。的离心率是()D.34由椭圆的对称性,得M闾 二|他|.设|相|二 2,则|好|二36.由椭圆的定义,知|A 用+|4 周=2%即7 M+3/=2 n
5、,解得m =故|4 用=弓,|A 周=.在心中,由余弦定理,得忻用2=|A用2+|A E _2|AGA周 c osN A 片,即,2 9 a 2 a2 3a a la1.2 7-Jl4L=+-2 x xx=-,贝 l j e-=-v =,故6 =.4 4 2 2 2 4 a2 1 6 4故选:B.6.设百,鸟为双曲线。:-1=1(。0,匕 0)的左、右焦点,过坐标原点。的直线依次与双曲cr b-线 C 的左、右支交于P,。两点,PQ =2QF2=2OF2,则该双曲线的离心率为()A.包 B.1 +粗 C.2 +63【详解】解:设双曲线的半焦距为c,可得|O P R O Q I=IQ E I=|
6、O 6 l=c,即有四边形Q 6 尸鸟为矩形,由双曲线的定义可得IQ K I=2 a +c,在直角三角形匹。刍 中,1 6 下=1 阴|2+1 0 6 ,即有 4 c 2 =(2a+c)2+c2,可得 2。+c =/3c,D.3+2 8即 e =-fi=1 +6a V 3-1故选:B.7.已知F为双曲线C:2 2三 上7瓦=i(a 0,6 0)的左焦点,Z点为双曲线的右顶点,B(0,-6),尸为双曲线左支上的动点,若四边形尸历IP 为平行四边形,则双曲线的离心率为()B.6 +1D.83C.2也一1由题意得:A(a,。),尸(-。,0),设 P(x。,%),因为四边形E S/1 P 为平行四边
7、形,所以形=丽,即(/+c,%)=(a,6)可得:x0=a-c,y0=b,故 P(4-c,b),代入双曲线得(flC)Z=2e=-j2+a2故选:B.2 28.已知双曲线C:二-马=1(0/0),直线/过双曲线的右焦点且斜率为直线/与双曲线C 的两条渐近线分别交于M、N 两 点(M 点在x 轴的上方),且耦=2,则双曲线C的离心率为()A.2 B./3 C.D.6【详解】如下图所示:由题意可知,直线/与渐近线y=垂直,则QN_LMN,aOM b又 =2,则/OM N=3 0,故/M ON=60,则 NM。尸=3 0,则上=tan3。=以,QMa3所以,该双曲线的离心率为故选:B.2 29.已知
8、产是椭圆工+工=1的一个焦点,为过椭圆中心的一条弦,则ZVlB厂面积的最大25 9值 为()A.6 B.15 C.20 D.12【详解】显 然 直 线 不 垂 直 y 轴,椭圆中心为原点O,设直线N 8的方程为:x=?y,x=my.1,由,”2 ”:消去歹得:(9/n2+25)y2=2 2 5,设 4%,y),8(/,%),9x+25y=22515 15由椭圆对称性,不妨令芦=%,,%=I,,焦点F(4,0),+25 V9m2+25ABF 的面积=:|OF|%-%|=2 30=/1),AB=,则 t=()A.2 B.3 C.4 D.5【详解】解:由焦点F(l,0),设直线/为x=2y+l(八0
9、),代入抛物线方程得y2-4/ly-4=0.设A(Xi,yJ,8(孙必),由韦达定理得:y,y2=-4C.由 乔=/而,即。一%,一%)=/(口一1,%),有y=一 明由 口 得:2yF2y=-2 或=-万,y=2,即 X=,%=;,所以|4却=工+电+=;+/+2=牛,化简得3r_10.+3=0,所以/=3或/=;(舍).故选:B.已知椭圆E:?+y2=L尸为E的长轴上任意一点,过点尸作斜率为3的直线/与E交于M,N两点,则IPMF+IPNF的 值 为()A.4 B.5 C.6 D.7【详解】设0)(-2 m 0)的焦点F,并与抛物线交于A,B两点,且|相|=8,则。的 值 为()A.1 B
10、.2 C.3 D.4【详解】抛物线/=2Px的焦点F(30),根据题意,直线/的方程为y =6(x-g,与抛物线方程y 2 =2 p x联立得3(x-y=2 p x,整理得3-5川+虹=0,4所以 +W =与,所以IA.=百+电+p =雷+p =8,所以p =3,故选:C.1 3 .已知产是抛物线C:y=的焦点,。为坐标原点,过厂的直线交C于4,8两点,4则三角形。/8面积的最小值为()A.-B.C.D.21 2 8 3 2 2【详解】由C:苫2=4),得尸(0,1),设 小,升 B,今)由已知直线A B的斜率存在设为k,所以直线加:y=区+1,fy =A x +l联 立 仁 得/一4-4=0
11、,x=4y5 砌 年 回他-x2|=|V 1 6 F+1 6=2 x/F7i 2,当=0 时,三角形Q4B面积的最小值为2,故选:D.1 4.设抛物线C:y 2 =2 p x S 0)的焦点为F,点 P(4,2)是抛物线C 上一点,且回|=5.设直线/与抛物线C 交于A、B两点,若。4,0 3 (。为坐标原点).则直线/过定点().A.(1,0)B.(2,0)C.(4,0)D.(3,0)【详解】P(4,。是抛物线C 上一点,且|P F|=5.口5 +4=5,解得P=2,即抛物线C 的方程为V=4x.依题意可知直线/的斜率不为0,设直线/的方程为x=+s,A(,y),B(x2,y2),由 消去
12、得,2-4。-4s=0,则弘+丫 2=4,i-=-4.v.y=4x2 2因为 OA J_ OB,所以占,x,+y,%=0,即+%=0.4 4化 简 得%、2=-1 6.由T s =16得s=4,所以直线/的方程为x=+4,所以直线/经过定点(4,0).故选:C1 5.过抛物线C:V=2px(p 0)焦点厂的直线与抛物线相交于4 8 两点,|/用=2怛q,。为坐标原点,且口4。8 的面积为6&,则抛物线C 的标准方程为()A.y2=2x B.y2=4 x C.y2=6x D./=8x【详解】由题设,令A 3为x=6 +日,联立抛物线方程并整理得),2-2&外-夕2=0,若4(再,),3(2,),
13、则X+%=2切,%为=-/,又|叫=2忸F|易得|%|=2|必1,X=4 kp,y2=-2kp,则-8%”=-p2,即公=L8:I y _%1=+%)2-4 必%=2 p J/+l,又1=6血,而|O F 地,口 p 2 T=6&,即 p2=6,又 p 0,则 p=4,故 y=8x.2故选:D1 6.己 知 过 的 直 线 与 抛 物 线 y2=3x(x0)交于A,B两点,M 为弦AB的中点,0为坐标原点,直线CW与抛物线的另一个交点为N,则两点N、M纵坐标的比值范围是()A.(2,-K O)B.(3,+0 0)C.2,-H)D.3,+o o)【详解】3c 9设直线AB:my=x(加目0),代
14、入y2=3x(x 0)得y -3my=0,4 4X +必 3 3 3 2 3-Z w =2=2m,Xm=+4=2 +4,心一二 苦,xM 2m+1,直线OM:y =-x,代入V=3 x(x 0)得.=生 竺 却,2次+1 N 2m.也=2 +-4 2%m故选:A1 7.已知直线/与抛物线J/=4x交于AB两点(点A在第一象限,点8在第四象限),与不轴交于点M(肛0),若线段AB的中点的横坐标为3,则加的取值范围是()A.(0,3 B.(-0 0,3 C.(0,6 D.(1,6【详解】解:设 A(X 1,y),8(X 2,2),直线方程为x =)+?(?0),x=ty+m c,,消去 X,得 2
15、-4 _ 4 m =0,所以 X+%=4 f,y=Ax所以玉+七=t(yt+y2)+2m=4 r+2m,因为A、B中点横坐标为3,所以不+*2=6,故机=3-2/43,又加0,所以川的取值范围为(0,3 .故选:A.1 8.已知抛物线产=公,直线/与抛物线交于/、8两点,若 线 段 中 点 的 纵 坐 标 为2,则直 线 的 斜 率 为()A.2 B.V 3 C.D.13【详解】设 直 线/的 方 程 为A(x/,y/),B(必”),联 立 直 线/与 抛 物 线 方 程 化 简 可 得,/-4my-4 n=0,y-=4x由韦达定理可得,)+7 2=4?,=2,2 4 m=4,即机=1,直线/
16、的方程为y=x-,k=.故选:D19 .已知过抛物线C:V=4x的焦点厂且倾斜角为3 0。的直线交C于/,8两点,。为的中点,P为 C上一点,则|P F|+|P Q|的最小值为()A.5 B.6 C.7 D.8【详解】如图所示:由题意,得 尸(1,0),故直线48的方程为x=G yH,联 立 卜 邓 +得 卜 4 岛-4=0,y=4x设 N (x/,yi),B(必”),贝!1乂+丫2=46,xi+x2 /i(y/+2)+2 14,所以。(7,2上),过 P作尸,垂直准线于点H,由抛物线的定义得:|尸 川+。尸PH+PQQH=7+1=8,当Q,R H 三点共线时,等号成立,所以号1+IP QI的最小值为8,故选:D.1 12 0.过x 轴上点P0)的直线与抛物线V=8x交于A,8 两点,若 所 +所 为 定 值,则实数“的 值 为().A.1 B.2 C.3 D.4【详解】设直线A B的方程为x=my+a,代入 y?=8 x,得 y2 _ 8 m _ y-8 a =0,设8(孙),则 乂+必=8 加,必=-8”.I M=(%-a)?+寸=(阳 i j +y;=(+)#,同理,忸呼=(病+