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1、|AB|tBtA|（tBtA）24tAtB；线段AB的中点所对应的参数值等于(2)中的极坐标方程可写为24sin302，y2sin，xcos.据sin2直角坐标为(1，3)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(C)2，yg（t），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数. .1曲线的极坐标方程(1) 极坐标系：一般地，在平面上取一个定点 O，自点 O引一条射线 Ox，同时确定一个 长度单位和计算角度的正方向( 通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系其中，点 O称为极点，射线 Ox称为极轴(2) 极坐标(，
2、 ) 的含义：设 M是平面上任一点，表示 OM的长度，表示以射线 Ox 为始边，射线 OM为终边所成的角那么，有序数对(， ) 称为点 M的极坐标显然， 每一个有序实数对(， ) ，决定一个点的位置其中 称为点 M的极径，称为点 M的 极角极坐标系和直角坐标系的最大区别在于： 在直角坐标系中， 平面上的点与有序数对之间 的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中， 对于给定的有序数对(， ) ，可以确定平面 上的一点，但是平面的一点的极坐标却不是唯一的(3) 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C上的任意一点的极坐 标满足方程 f(， ) 0，并且坐标适合方程 f(， ) 0 的
3、点都在曲线 C上，那么方程 f (，) 0 叫做曲线 C 的极坐标方程2直线的极坐标方程(1) 过极点且与极轴成 0 角的直线方程是 0 和 0 ，如下图所示.页脚点在x轴(或y轴)上的椭圆：，.中心在点P(x0，y0)，焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参直线l的参数方程和曲线C的标准方程x14cos，y24sin(2)设直线l与曲线C相交)A.14B214C.2D22解析：由题意可得直线和圆的方程分别为xy40，x2y24即x2y22x4y110.直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为3，直线的参数方程为x3(3) 圆心在过极点且与极轴成 2 的射线上，过极点且半径为r 的圆的方程为 2rsi
4、n_ ，如图 3 所示. .(2) 与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0) 的直线的极坐标方程是 cos a，如下图所示(3) 与极轴平行且在 x 轴的上方， 与 x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为 sin a ，如下图所示3圆的极坐标方程(1) 以极点为圆心，半径为 r 的圆的方程为 r ，如图 1 所示(2) 圆心在极轴上且过极点，半径为 r 的圆的方程为2rcos_ ，如图 2 所示4极坐标与直角坐标的互化点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程2直线的极坐标方程(1)过极点且2t，3(t是参数)(2)将直线的参数方程代入x2y22x4y110，整理，得t2(2于A，B
5、两点，求|PA|PB|的值x14cos，y24sin(y2)216，通方程由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三或者 x2 y2，x，xf（t ），(t 为参数) ， yy0 tsin ( 为参数)( 为参数) 或xacos ， xbcosybsin yasin. .若极点在原点且极轴为 x 轴的正半轴，则平面任意一点 M的极坐标 M(，) 化为平面直角坐标 M(x，y) 的公式如下：x cos ，y sin 其中要结合点所在的象限确定角 ytan 的值1曲线的参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x ，y 都是某个变
6、数 t 的函数，即并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x ，y) 都在这条曲线上， yg（t ），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参 数2常见曲线的参数方程(1) 过定点 P(x 0 ，y0) ，倾斜角为 的直线：xx0 tcos ，其中参数 t 是以定点 P(x 0 ，y0) 为起点，点 M(x，y) 为终点的有向线段 PM的数量，又称 为点 P 与点 M间的有向距离根据 t 的几何意义，有以下结论：设 A， B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则|AB| |t Bt A| （t Bt A）
7、2 4t A t B；线段 AB的中点所对应的参数值等于(2) 中心在 P(x 0 ，y0) ，半径等于 r 的圆：xx0 rcos ，yy0 rsin (3) 中心在原点， 焦点在 x 轴( 或 y 轴) 上的椭圆：， .为直线l过椭圆的右顶点，所以03a，即a3.一、选择题1在平面直角坐标系xOy中，点P的10已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为3.(1)写出数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有，0)的直线的极坐标方程是cosa，如下图所示(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离
8、为，( 为参数) 或1yta y2sin，1已知点 A的极坐标为 4， 3 ，则点 A的直角坐标是(2 ， 2 3) xt ， x3cos ， x2 y2y2sin. .中心在点 P(x 0，y0) ，焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程为( 为参数)(4) 中心在原点，焦点在 x 轴( 或 y 轴) 上的双曲线：xx0 yy0acos bsinxasecybtan， xbtan yasec， .(5) 顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线：x2p， y2p注： sec(t 为参数， p0)cos .3参数方程化为普通方程由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代
9、入消元法、加减消元法、 乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值围对 x ，y 的限制5 2把点 P 的直角坐标( 6， 2) 化为极坐标，结果为 2 2， 6 3曲线的极坐标方程 4sin 化为直角坐标方程为 x2 (y 2) 2 44以极坐标系中的点 1， 6 为圆心、 1 为半径的圆的极坐标方程是 2cos 6 xt 5在平面直角坐标系 xOy 中， 若直线 l ：， x3cos (t 为参数) 过椭圆 C：( 为参数) 的右顶点，则常数 a 的值为 3解析： 由直线 l ： yt a ，得 yxa. 由椭圆 C： ， 得9 4 1. 所以椭圆 C 的右顶点为(3 ，0) 因为直
10、线 l 过椭圆的右顶点，所以 03a，即 a3.直角坐标为(1，3)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(C)2a的直线的极坐标方程为sina，如下图所示3圆的极坐标方程(1)以极点为圆心，半径为r的离的最值.解析：(1)由题意可得C2的参数方程为x2cos，y3sin(为参数)，即C数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有，2，4 32，4 3xt 1，y3sin 系中取相同的长度单位，已知直线 l 的参数方程是 (t 为参数) ，圆 C 的极坐标方x3cos ，y3sin 位置关系是相交. .一、选
11、择题1在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的直角坐标为(1 ， 3) 若以原点 O 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 P 的极坐标可以是( C).页脚A. 1，C. 2，D. 3B. 32若圆的方程为x2cosy2sin( 为参数) ，直线的方程为(t 为参数) ，则yt 1直线与圆的位置关系是( B)A相离 B 相交C相切 D 不能确定3以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标xt 1，yt 3程是 4cos ，则直线 l 被圆 C截得的弦长为( D)A. 14 B 2 14C. 2 D 2 2解析： 由题意可得直线和圆的方程分别为 xy40
12、，x2 y2 4x，所以圆心 C(2，0) ， 半径 r 2，圆心(2 ，0) 到直线l 的距离 d 2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为 2 2.4已知动直线 l 平分圆 C：(x 2) 2 (y 1) 2 1，则直线 l 与圆 O：为参数) 的位置关系是( A)x3cos ，(A相交C相离B 相切D 过圆心解析： 动直线 l 平分圆 C：(x 2) 2 (y 1) 2 1，即圆心(2 ，1) 在直线 l 上，又圆 O：的普通方程为 x2 y2 9 且 22 129，故点(2 ，1) 在圆 O，则直线 l 与圆 O的xOy中，若直线l：，x3cos(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为3解析bsinxasecybtan，xbtanyasec，.(5)顶点在原点，焦点在x轴的33)t30，设方程的两根分别为t1，t2，则t1t23位置关系是(B)A相离B相交C相切D不能确定3以平面直角坐标系的
