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1、已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根，数m的取值围。解：2时，fxmaxf122a。2本题若修改为求函数的最值，讨20的两根都小于1（4）方程x2(a（5）方程x2ax例已，故maxmin（2）当a0时，函数fx在区间2,3上是减函-1 2 1 20b 2a f 0综0b 2aa f 0）b 2aa f 0b 2a f 0a f 0 0得出的结论f 0 0合结论（不讨论a0000000000大致图象（a 0）0b 2a f 0大致图象（a 0）得出的结论00b 2a f 000f 0 00-二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 ax2 bx c 0根的分布情况设
2、方程ax2 bx c 0 a 0 的不等两根为 x ,x 且 x x ，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0 ，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一： （两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0x 0, x 01 2两个正根即两根都大于 0x 0, x 01 2一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0 x 0 x1 2表二： （两根与k的大小比较）-.总结资料一个小于1，数m的取值围。12例已知二次方程mx22m3x4个根在区间m,n，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参,f,fn；（
3、2）若m,n，则fxmaxfm,fn，fxmi有一个在原点的右侧，数m的取值围。二次函数在闭区间m,n上的-k k0b2af kb 2a f ka 0 ）大 致 图 象 （得出的结论f k 0kkk000大致图象（a 0）0b2af k综0b2aa f k）b 2aa f kb 2a f ka f k 0得出的结论f k 0合结论（不讨论kkkka000000-一个根小于k ，一个大于k 即x k x1 2两根都大于两根都小于x k, xx k, x分布情况1 21 2即即kkkk表三： （根在区间上的分布）分布情况两根都在 m,n两根有且仅有一根在 m,n 一根在 m,n ，另一根在 p,q
4、 ，（图象有两种情况，只画了一种） m n p q-.总结资料在区间0,1上只有一个正根，则f0f1043m10m13（注根满足下列条件时，数a的取值围：（1）方程x2（2）方程7x论又该怎样进行？-.总结资料-解：（1）当a（2）当1（3：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1-大致图象（a 0）f mf m f n 00综合结论（f p f q 0）0f m 0f n 0b0 f m f nf nf pf q0 f p f qf m f n 0f m f n 0m n得出的结论2a不讨论或a0001 2-大致图象（a 0）0f m 0f n 0m nf m f n f
5、pf q0 f m f n0 f p f qf m f n 0得出的结论b2a或0000根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m,n 外，即在区间两侧 x m,x n ，（图形分别如下）需满足的条件是-.总结资料对值较大5已知函数f(x)mx2x1的图像与x轴的交点至少。fxx2xa11xx12aaa1,x1,x12，aaa，这2（3）方程x2axa27(a13)xax200的两个根一个上有一根，因为f10，所以mx2m2x2x1mx2，另一根为2 23得 m 2-；由 143 32 22 142-（ 1）a 0 时，f m 0f n 0；（2）a 0 时，f m 0f n 0对以上的
6、根的分布表中一些特殊情况作说明：（ 1 ）两根有且仅有一根在 m,n 有以下特殊情况：1 若 f m 0或 f n 0 ，则此时 f m f n 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n ，从而可以求出参数的值。如方程 mx2 m 21,3 上有一根， 因为 f 1 0，所以mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根为 m ，由1 m即为所求；x 2 0在区间232 方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n ，即 0 ，此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间，如若不
7、在，舍去相应的参数。如方程 x2 4mx 2m 6 0有且一根在区间 3,0 ，求m 的取值围。分析： 由 f 3 f 0 0 即 14m 15 m 3 0得出 3 m 15 0即16m2 4 2m 6 0得出m 1或m ，当m 1时， 根 x 2 3,0 ，即m 1满足题意； 当m 时，根 x 3 3,0 ，故 m 3 不满足题意；综上分析，得出 3 m 15 或m 1根的分布练习题例 1、已知二次方程 2m 1 x2 2mx m 1 0有一正根和一负根，数m 的取值围。解：由 2m 1 f 0 0 即 2m 1 m 1 0 ，从而得 1 m 1即为所求的围。例 2、已知方程 2x2 m 1
8、 x m 0有两个不等正实根，数m 的取值围。解：由-.总结资料数，故maxminf3f2f2f33ab252b2b253a知方程x24)x2a25a30的两根都在区间1,3上；4函数的图象分别如下（1），（2），（3）2因此，（1）当a时nfm,fn另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴 即为所求围。2-解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2m 1 0 2 m 即为所求的围。-0m 12 2f 0 0m 1 2 0 mm8m 010m 3 2 2或m 3 2 2m 00 m 3 2 2 或m 3 2 2 即为所求的围。例 3、已知二次函数 y m 2 x2 2m 4 x 3m
9、3 与 x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，数m 的取值围。12例 4、已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0 只有一个正根且这个根小于 1，数 m 的取值围。解：由题意有方程在区间 0,1 上只有一个正根，则 f 0 f 1 0 4 3m 1 0 m13（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 0,1 ，由 0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例 1、当关于x 的方程的根满足下列条件时，数a 的取值围：（ 1 ）方程 x2（2 ）方程 7x2（3 ）方程 x2ax a2 7 (a 13)x ax 2 00 的两个根一个大于 2，另一个小于 2；a2 a 2
10、0 的一个根在区间(0,1) 上，另一根在区间(1,2) 上；的两根都小于 0；变题：方程 x2 ax 2 0 的两根都小于 1（4 ）方程 x2 (a（5 ）方程 x2 ax 例 2、已知方程 x24)x 2a2 5a 3 0 的两根都在区间 1,3 上； 4 0在区间（ 1，1 ）上有且只有一解；mx 4 0在区间 1，1上有解，数m 的取值围例 3、已知函数 f (x) mx 2 (m 3)x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，数m 的取值围检测反馈： 1若二次函数 f (x) x2 (a 1)x 5 在区间( 1 ,1) 上是增函数，则 f (2) 的取值围是_2若 、 是关于 x 的方程x 2 2kx k 6 0 的两个实根, 则( 1)2 ( 1)2 的最小值为3若关于x 的方程x2 (m 2)x 2m 1 0只有一根在(0,1) ，则 m _4对于关于 x 的方程x2+(2m 1)x+4 2m=0 求满足下列条件的 m 的取值围：（ 1 ）有两个负根 （2） 两个根都小于 1（3 ）一个根大于 2，一个根小于 2 （4） 两个根都在（ 0 ，2）（5 ）一个根
