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1、E=GCF+GC90.GCCM.(2)成立.解析四边形ABCD是正方形,AB=BC:当点E在BC边上时,7MEC0,要使MCE是等腰三角形,必须EM=EC,EMECMB,AB=OA.E是OB的中点,AGOB,OE90,同理:CFOD,AGCF,ABCBM,=在ABM和CBM中,=,=ABMCBM(SAS).BAB提分专练(五) 四边形的有关计算与证明1. 2019新疆生产建设兵团 如图 T5-1,在菱形 ABCD中, 对角线 AC,BD相交于点 O, E是 CD中点, 连接 OE.过 点 C作 CFBD交 OE的延长线于点 F, 连接 DF.求证:(1) ODE FCE;(2) 四边形 OCF
2、D是矩形.图 T5-12. 已知: 如图 T5-2,在菱形 ABCD中, F 为边 BC的中点, DF与对角线 AC交于点 M, 过 M作 MECD于点 E, 1= 2.(1) 若 CE=1, 求 BC的长;(2) 求证: ADF+ME.图 T5-21ODDCF.E是CD中点,ED=EC.DECEF,ODEFCE.(2)O5,EF75.AFE=60,AFEFH-AFE=15.AFC=45,当点E在BC的延长线上时,(1)中的结论是否成立?请写出结论,不用证明.(3)试问当点E运动到EC于点H.EA15,AB60,AE45.在RtAGB中,AB60,AB=3. 2019海南 如图 T5-3,在边
3、长为 1 的正方形 ABCD中, E是边 CD的中点, 点 P是边 AD上一点( 与点 A, D不 重合), 射线 PE与 BC的延长线交于点 Q.(1) 求证: PDEQCE.(2) 过点 E作 EFBC交 PB于点 F, 连接 AF, 当 PB=PQ时, 求证: 四边形 AFEP是平行四边形; 请判断四边形 AFEP是否为菱形, 并说明理由.图 T5-34. 2019青岛 如图 T5-4,在 ABCD中, 对角线 AC与 BD相交于点 O, 点 E, F分别为 OB, OD的中点, 延长 AE至 G, 使 EG=AE,连接 CG.(1) 求证: ABECDF.(2) 当 AB与 AC满足什
4、么数量关系时, 四边形 EGCF是矩形?请说明理由.图 T5-42CDF(SAS).(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:AC=2OA,AC=2ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.点E是射线BC上一动点,AE与BD相交于点M,AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F,G是EF的中上,且EAB=15时,求点F到BC的距离.图T5-63【参考答案】1.证明:(1)CFBD,5. 如图 T5-5,在边长为 1 的正方形 ABCD中, 点 E是射线 BC上一动点, AE与 BD相交于点 M, AE或其延长线与 DC 或
5、其延长线相交于点 F, G是 EF的中点, 连接 CG.(1) 如图 , 当点 E在 BC边上时, 求证: ABM CBM;CGCM.(2) 如图 , 当点 E在 BC的延长线上时,(1) 中的结论是否成立?请写出结论, 不用证明.(3) 试问当点 E运动到什么位置时, MCE是等腰三角形?请说明理由.图 T5-56. 如图 T5-6, 已知四边形 ABCD是菱形, AB=4, AB60, EAF的两边分别与射线 CB, DC相交于点 E, F, 且 EAF=60.(1) 如图 , 当点 E是线段 CB的中点时, 直接写出线段 AE,EF, AF之间的数量关系;(2) 如图 , 当点 E是线段
6、 CB上任意一点时( 点 E不与 B, C重合), 求证: BE=CF;(3) 如图 , 当点 E在线段 CB的延长线上, 且EAB=15时, 求点 F到 BC的距离.图 T5-63EP不是菱形,理由如下:设PD=x,则AP=1-x,由(1)知PDEQCE,CQ=PD=x,B,AB=OA.E是OB的中点,AGOB,OE90,同理:CFOD,AGCF,BE=1OB,DF=1OD,22BE=DF,=在ABE和CDF中,=,=ABE,当点E在BC的延长线上时,(1)中的结论是否成立?请写出结论,不用证明.(3)试问当点E运动到【参考答案】1. 证明:(1) CFBD,ODDCF.E是 CD中点,ED
7、=EC.DE CEF,ODE FCE.(2) ODE FCE,OE=EF.又DE=EC,四边形 OCFD是平行四边形.四边形 ABCD是菱形,BDAC. DO90.四边形 OCFD是矩形.2. 解:(1) 四边形 ABCD是菱形,ABCD,BC=CD.1= ACD.又1=2, AC2.MC=MD.又MECD,CE=ED=1CD. BC=CD=2CE=2.2(2) 证明: 如图, 延长 DF, AB交于点 N.四边形 ABCD是菱形,FCECM.又F为边 BC的中点,CF=BF.由(1) 可知 ,CE=ED=1CD2CMF CME.MF=ME.4CD是菱形,FCECM.又F为边BC的中点,CF=
8、BF.CE=ED=1CD2CMFEGCF,EG=AE,OA=OC,OE是ACG的中位线,OECG,EFCG,6四边AB=CD,ABCD,OB=OD,OA=OC,ABCDF.点E,F分别为OB,OD的中点,什么位置时,MCE是等腰三角形?请说明理由.图T5-56.如图T5-6,已知四边形ABCD是菱形,ABCD,2= N, NBF=DCF.又BF=CF, CDFBNF.NF=DF.又1=2, N= 1.AMNF+MF=DF+ME.3. 解:(1) 证明: 四边形 ABCD是正方形,D= BC90,EC90=D.E是 CD的中点, DE=CE,又DEP=CEQ, PDEQCE.(2) 证明: 如图
9、, 由(1) 得PDEQCE,PE=QE=1PQ,2又EFBC, PF=FB=1PB,2PB=PQ, PF=PE, 1= 2,四边形 ABCD是正方形, BA90,在 Rt ABP中, F是 PB的中点,AF=1BP=FP, 3= 4,2ADBC, EFBC, ADEF,1= 4, 2= 3,又PF=FP, APFEFP, AP=EF,又APEF, 四边形 AFEP是平行四边形.四边形 AFEP不是菱形, 理由如下: 设 PD=x, 则 AP=1-x,由(1) 知PDEQCE,CQ=PD=x, BQ=BC+CQ=1+x,点 E, F分别是 PQ, PB的中点,EF是PBQ的中位线,5,=,8B
10、AECAF.BE=CF.(3)如图,过点A作AGBC于点G,过点F作FHAE45,AEF=60,CEF=AEF-AE15.在RtEFH中,CEF=1BQ=BC+CQ=1+x,点E,F分别是PQ,PB的中点,EF是PBQ的中位线,5EF=1BDAC.DO90.四边形OCFD是矩形.2.解:(1)四边形ABCD是菱形,AB2由可知 AP=EF, 即 1-x=1+33 3.,EF=1BQ=1+ .2, 解得 x=1,2PD=1, AP=2在 Rt PDE中, DE=1,2PE= 2 + 2 = 13,6APPE,四边形 AFEP不是菱形.4. 解:(1) 证明: 四边形 ABCD是平行四边形,AB=
11、CD,ABCD, OB=OD,OA=OC,ABCDF.点 E, F分别为 OB, OD的中点,BE=1OB,DF=1OD,2 2BE=DF,=在ABE和CDF中, = ,=ABECDF(SAS) .(2) 当 AC=2AB时, 四边形 EGCF是矩形. 理由如下:AC=2OA,AC=2AB,AB=OA.E是 OB的中点,AGOB,OE 90,同理: CFOD,AGCF,EGCF,EG=AE, OA=OC,OE是ACG的中位线,OECG,EFCG,6明:四边形ABCD是正方形,D=BC90,EC90=D.E是CD的中点,DE=AB=BC=CD=AD,B=D=60.ABC,ADC是等边三角形.BA
12、DA60形EGCF是平行四边形,OE90,四边形EGCF是矩形.5.解:(1)证明:四边形ABC(SAS).ABCBM,BABCM.又ECF=90,G是EF的中点,GC=1E,四边形 EGCF是平行四边形,OE 90,四边形 EGCF是矩形.5. 解:(1) 证明: 四边形 ABCD是正方形,AB=BC, ABCBM.=在ABM和CBM中, = ,=ABM CBM(SAS) .ABCBM, BABCM.又ECF=90, G是 EF的中点, GC=1EF=GF.2GCF=GFC.又ABDF,BAGFC.BCGCF.BCGCE=GCF+GC90.GCCM.(2) 成立. 解析 四边形 ABCD是正方形,AB=BC, ABCBM,=在ABM和CBM中, = ,=ABM CBM(SAS) .BABCM.又ECF=90, G是 EF的中点, GC=GF.GCF=GFC.又ABDF,
