《新人教A版高中数学选修45《数学归纳法证明不等式》教案高中教育》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教A版高中数学选修45《数学归纳法证明不等式》教案高中教育（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“中途不等式”.通过对“中途不等式”的证明，实现由设不等式”4,a+bab4.k1(a+b)k+1-ak+1-bk当n=1时，显然成立.根据归纳法假设，当n=k时，命题成立，则当n=k+1时，由|f(p)-f(ak)|p-ak|1213k 1( k 1 k)k 11k 1k 11k 1k 1 kk名师精编 优秀教案整合提升知识网络典例精讲数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法.它可用来证明与自然数有关 的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题.在高考中，用数学归纳法证 明与数列、 函数有关的不等式是热点问题， 特别是数列中的归纳猜想证明是对观察、 分 析、归纳、论证能
2、力有一定要求的，这也是它成为高考热点的主要原因.【例 1 】设 nN*且 n2， 求证:1+12131nn恒成立.证明:n=2 时，左边=1+222=右边，原不等式成立；设 n=k(k2)时原不等式成立，即 1+12131k.当 n=k+1 时，有 1+1k 11 1k kk 11k 11k 1 k1k 1 k即 n=k+1 时原不等式成立.由，可知对于任何 nN*（n2）原不等式成立.【例 2 】设 a1,a2,a3,an R 且 0ana1+a2+an+1-n(n2,nN*).证明:n=2 时，（ 1-a1 ）(1-a2)0,a1a2a1+a2+1-(1+1)成立.设 n=k(n2)时原不
3、等式成立，即 a1a2 aka1+a2+ak+1-k成立，则 a1a2 ak+ak+1-1a1+a2+ak+ak+1+1-(k+1)成立.要证明 n=k+1 时原不等式成立，即 a1a2 akak+1a1+a2+ak+1+1-(k+1)成立,只需证明不等式(22k-2k+1)+abk+akb,由1=1a,可得ab4,a+bab4.k1(a+b)k+1-ak+1-bk等式成立.由，可知对于任何nN*（n2）原不等式成立2)|x1-x2|，且f(p)=p(p为常数)，又在数列ak-pp-f(k(a)a1a2 ak+ak+1-1(*)成立.要证明不等式（*）成立，只需证明(a1a2 ak-1)(ak
4、+1-1)0.又0ai1(i=1,2 ，,k,k+1)恒成立，0a1a2 ak0成立.不等式(*)也成立，即 n=k+1 时原不等式成立.由可知对于任何 nN*（n2）原不等式成立.温馨提示当 设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难时，可以先找一个介于 设不等式”和“目 标不等式”之间的“中途不等式”.通过对“中途不等式”的证明， 实现由 设不等式”到“目标不 等式”的平稳过渡.而这个“中途不等式”仅起到桥梁作用.本例关键是尽快由 设不等式”得 到一个右边和“目标不等式”完全一样的不等式后，由不等式的传递性寻找到要证明的“中途 不等式”.【例 3】求证： (n+1)(n+2)+(n+3) （
5、n+n）=2n 135 1()2.n证明:用数学归纳法.当 n=1 时，显然成立.根据归纳法假设，当 n=k 时，命题成立，即(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=2 k 135 1()2.k要证明 n=k+1 时，命题也成立，即(k+2)(k+3)(k+k)(k+ 1+k)(k+1+k+1)=2k+1 1352k+1)-1 .要用来证明，事实上，对等式两边乘以 ,就凑好了等式的左边.接(2k 1)( 2k 2) k 1下来，对 2k 135 恒等变形，可得式右边.因此，对任意nN*，原不等式成立.【例 4】已知函数 y=f(x) 的定义域为 R，对任意不相等的实数 x1,x2 ，都有|f
6、(x 1)-f(x2)|x1-x2|， 且 f(p)=p(p 为常数)，又在数列an 中， a1p,f(an)+an=2an+1,求证：（ 1）anan.思路分析:用数学归纳法证明从 “n=k到 n=k+1”时，关键是 凑假设， 二凑结论”.证明:很明显,n=1 时， a1p 成立.假设 n=k 时， akp 成立，则当 n=k+1 时，由|f(p)-f(ak)|p-ak|及 f(p)=p,可得|p-f(ak)|p-ak|,又 akp,故|p-f(ak)|p-ak注意到已知条件 f(ak)+ak=2ak+1,将其变形为 f(ak)=2ak+1-k(a),代入式得 ak+1ak.这样命题(1)
7、、（2）获证.a f (a ) 2p,(1)k kb)(a+b)k-ak-bk+abk+akb(a+b)2+ak+1+1-(k+1)成立,只需证明不等式名师精编明从“n=k到n=k+1”时，关键是凑假设，二凑结论”.证明则n=k+1时，（a+b）k+1-ak+1-bk+1=(a+1b2ab问题化归为求关于 a,b 的二元函数在条件 =1a b 证明:n=1 时，原不等式显然成立；abk+akb2 ak 1 bk 1 2(4) 2 =2k+2.1n设 n=k 时原不等式成立，即 0xk成立，由于 xk+1k(x)-xk2 恒成立.名师精编 优秀教案1 1【例 5 】设 a,b(0,+)且 =1
8、，求证：对于任何 nN*,有(a+b)n-an-bn 2n-2n+1 成立.设 n=k 时原不等式成立，即（a+b） k-ak-bk 2k-2k+1,则 n=k+1 时，（a+b） k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-ak-bk +abk+akb(a+b)(22k-2k+1)+abk+akb,由 1=1a ,可得 ab4,a+b ab 4.k 1(a+b)k+1-ak+1-bk+1 (a+b)(22k-2k+1)+abk+akb4(2k-2k+1)+2k+2=22(k+1) -2(k+1)+1 ,即 n=k+1 时原不等式成立.由可知对于任何 nN*原不等式成立.温馨提示得到（a+b）(a+b)k-ak-bk 是过渡成功的一半. 1 1a b下的最小值问题后，若注意到原不等式 “=成”立的条件为 a=b=2,则容易想到上述过程.【例 6 】正项数列x n 中，对于任何 nN*，xn2 n(x)-xn+1 恒成立.求证：对于任何 nN*,xn0 解得 0x11，原不等式成立.1k1 1（ 1）0xk k 1 时， xk+1 k(x)-xk2xk k 1成立.1 1 1 1 1(2) k 1xk k 时， xk+1 k(x)(1-xk) k (1-k 1)= k 1 . 由（ 1）,（2 ）可知 n=k+1 时原不等式成立.1由可知对于任何 nN*,xn n 成立.
