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1、物线的解析式为 y= x2+2x+3(2 )分三种情况:当 MA=MB 时;当 AB=AM 时;当 AB=BM 时;三种情况讨论可得点 M 的坐标(3 )平移后的三角形记为 PEF根据待定系数法可得直线 AB 的解析式为 y= x+3易得直线 EF 的解析式为 y= x+3+m根据待定系数法可得直线 AC 的解析式 连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G,则 G( ,3)在0,即a2(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边象过A(2,0),B(0,1)和(2)证明:ABC为直角三3)代入,得b=3,直线CP2的解析式为y=x3点P2M为PCB外接圆的半径适应性练习;1(2014浙江宁波A
2、OB 沿 x 轴向右平移的过程中分二种情况:当 0m时;当 m3 时;讨论可得用 m 的代数m2014 年中考数学二次函数综合题归类2015 年初三数学二次函数综合题归类复习,解得则直线 AB 的解析式为 y= x+31图像与性质:例 1(2014 年四川资阳,第 24 题 12 分)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A(3,0),与AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度( 0m3 )得到 PEF ,易得直线 EF 的解析式为 y= x+3+m设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,则y 轴的交点为 B(0,3),其顶点为 C ,对称轴为 x=1( 1 )求抛
3、物线的解析式;(2 )已知点 M 为 y 轴上的一个动点,当ABM 为等腰三角形时,求点 M 的坐标;,解得 则直线 AC 的解析式为 y= 2x+6连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G ,则 G( ,3)在AOB 沿 x 轴向右平移的过程中(3)将 AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度( 0m3 )得到另一个三角形,将所得的三角形与 ABC 重 当 0m 时,如图 1 所示设 PE 交 AB 于 K,EF 交 AC 于 M则 BE=EK=m,PK=PA=3 m,叠部分的面积记为 S,用 m 的代数式表示 S考点: 二次函数综合题联立 ,解得 ,即点 M(3 m,2m)。 故 S=S
4、PEF SPAK SAFM= PE2= (3 m) 2 m = m2+3m当 m3 时,如图 2 所示设 PE 交 AB 于 K,交 AC 于 H因为 BE=m,所以 PK=PA=3又因为直线 AC 的解析式为 y= 2x+6,所以当 x=m 时,得 y=6 2m,所以点 H(m,6 2m)故 S=SPAH SPAK= PA PH PA2= (3 m) (6 2m) (3 m) 2= m2 3m+ PK2 AF h,分析:(1 )根据对称轴可知,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为( 1,0),根据待定系数法可得抛 综上所述,当 0m 时, S= m2+3m;当 m3 时,
5、S= m2 3m+ 式表示 S点评: 考查了二次函数综合题, 涉及的知识点有: 抛物线的对称轴, 待定系数法求抛物线的解析式, 待定系数法求直线的解析式,分类思想的应用, 方程思想的应用,综合性较强,有一定的难度解:(1)由题意可知, 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为( 1,0),则 ,解得 2旋转问题:例 2. (2014 福建泉州,第 22 题 9分)如图,已知二次函数 y=a(x h) 2+ 的图象经过原点 O(0,0),故抛物线的解析式为 y= x2+2x+3A(2,0)(2 )当 MA=MB 时, M(0,0);当 AB=AM 时, M(0, 3);当 AB=B
6、M 时, M(0,3+3 )或 M ( 1)写出该函数图象的对称轴;(0,3 3 )所以点 M 的坐标为:(0,0)、(0, 3)、(0,3+3 )、(0,3 3 ) (2)若将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OA, 试判断点 A是否为该函数图象的顶点?(3 )平移后的三角形记为 PEF设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,则1关于y轴对称,BODBOC,点评:本题考查了二次函数,分两种情况求出x0的值就可以得出结论解答:解:(1)令yAE=DE,AF=DFy2=5x210x+5=5(x1)在抛物线y=x2x3上,x2x3=x3,化简得:x26x=44 4将点 A( 1, )代入
7、y=ax2 得: a= 4 ,二次函数的解析式为 y= 4 x2;过点 P 作 PB y 轴于点 B,则 BF= x2 1,PB=x, RtBPF 中,分析: ( 1 )根据题意可设函数的解析式为y=ax2,将点 A 代入函数解析式, 求出 a 的值, 继而可求得二次函数的解析式;1(3)首先可得FMH=30, 设点 P 的坐标为( x, x2 ),根据 PF=PM=FM ,可得关于 x 的方程,求出 x的值即可得出答案2014 年中考数学二次函数综合题归类y 随 x 的增大而增大; x 时, y 随 x 的增大而减小; x= 时, y 取得最大值物线的最高点也考查了旋转的性质3与三角形结合:
8、例 3(2014 广西贺州,第 26 题 12 分)二次函数图象的顶点在原点 O ,经过点 A( 1,即顶点是抛1);点 F( 0 , 1 )4考点: 二次函数的性质;坐标与图形变化旋转分析: ( 1)由于抛物线过点 O(0,0),A(2,0),根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x=1;(2)作 ABx 轴与 B,先根据旋转的性质得 OAO=A=2, AOA=2,再根据含 30 度的直角三角形三边的在 y 轴上直线y= 1 与 y 轴交于点 H( 1)求二次函数的解析式;(2)点 P 是( 1 )中图象上的点,过点 P 作 x 轴的垂线与直线y= 1 交于点 M,求证:FM 平分OF
9、P ;(3 )当 FPM 是等边三角形时, 求 P 点的坐标关系得 OB= OA=,1 AB= OB= ,则 A点的坐标为( 1, ),根据抛物线的顶点式可判断点 A为抛物线 y= (x 1)2+ 的顶点解答: 解:( 1 )二次函数 y=a(x h) 2+ 的图象经过原点 O(0,0),A(2,0)抛物线的对称轴为直线 x=1;(2)点 A是该函数图象的顶点理由如下:如图, 作 ABx 轴于点 B,线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OA, OAO=A=2,AOA=2,在 RtAOB考点: 二次函数综合题中,OAB=30, OB= OA=,1 AB= OB= ,专题: 综合题A点的坐标
10、为(1, ),点 A为抛物线 y= (x 1)2+ 的顶点(2 )过点 P 作 PB y 轴于点 B,利用勾股定理求出 PF,表示出 PM ,可得 PF=PM, PFM= PMF ,结合 平行线的性质,可得出结论;点评: 本题考查了二次函数的性质:二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的顶点坐标为( , ),对称轴直线 x= ,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象具有如下性质: 当 a 0 时, 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的开口向上, x 时, y 随 x 的增大而减小; x 时, y 随 x 的增大而增大; x= 时, y 取得最小值 ,即顶点是抛物线的最低点 当 a 0
11、 时, 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的开口向下, x 时,解答: ( 1 )解:二次函数图象的顶点在原点 O,设二次函数的解析式为y=ax2,1 1 141 1(2)证明:点 P 在抛物线 y= x2 上,可设点 P 的坐标为( x, x2 ),14PF= x2+1, PM 直线 y= 1, PM= x2+1,1 14 42的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式,=a(x22mx3m2),则3=a(003m2),点评:本题,),对称轴直线x=,二次函数y=ax2+bx+c(a0)析式为y=kx+b,则112014年中考数学二次函数综合题归1 1 1在 RtMFH 中
12、, MF=2FH=2 2=4, PF=PM=FM, x2+1=4,解得: x 2 , x = 12=3,满4 4 4足条件的点 P 的坐标为( 2 ,3)或( 2 ,3)AB,BC ,CA 上( 1)已知: DE AC,DF BC判断: 四边形 DECF 一定是什么形状?裁剪: 当 AC=24cm,BC=20cm, ACB=45时,请你探索:如何剪四边形 DECF ,能使它的面积最大,并证明你的结论;(2)折叠:请你只用两次折叠,确定四边形的顶点 D,E,C,F ,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由2014 年中考数学二次函数综合题归类PF=PM , PFM= PMF ,又 PM x 轴,MFH= PMF , 解答: . 解:( 1) DE AC,DF BC ,四边形 DECF 是平行四边形作 AG BC,交 BC 于 G,交 DF 于 H, ACB=45, AC=24cm, AG= =12 ,PFM= MFH, FM 平分OFP ;设 DF=EC=x,平行四边形的高为h,则 AH=12