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1、，y(e2x)cos3xe2x(cos3x)2e2xc得y1，切点P(1,1).y3x2，y|3.过点x0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。即：tan=l|5，解得m4，或m6.当m4时，l的方程为y2x4；当m60f(xlim 0x) f (x )x0yx 0 xf (x0x) -f (x )0x x00 000 00导数的概念和运算0.导数的概念和运算 考纲要求1. 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2. 掌握常函数 y=C，幂函数 y=xnn 为有理数，三角函数 y=sinx ，y=cosx ，指数函数 y=ex， y=ax ，对数函数 y=lnx ，y
2、=log ax 的导数公式；3. 掌握导数的四那么运算法那么；并能解决一些简单的数学问题。4. 掌握复合函数的求导法那么，会求某些简单复合函数的导数。 知识网络导数的概念初等函数的求导公式 考点梳理考点一：导数的概念：1导数的定义：对 函 数 y f (x) ， 在 点导数的运算 导数的运算法那么复合函数求导x x 处 给 自 变 量 x 以 增 量 x ， 函 数 y 相 应 有 增 量y f (x0x) f (x ) 0。假设极限 limx 0yx0 存在，那么此极限x 00 0 x x 0称为 f (x) 在点x 处的导数，记作 f (x ) 或 y | ，此时也称 f (x) 在点x
3、处可导。0即： f (x )lim limx 0x 0 或 f (x ) limf (x) -f (x )0x-x0 要点诠释：增量 x 可以是正数，也可以是负数；导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2导函数：如果函数 y f (x)在开区间(a,b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个 x (a,b) ，都对 应着一个确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这个函数 f / (x) 为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数。函数的导数与在点 x 处的导数不是同一概念， f (x ) 是常数，是函数 f (x) 在 xx 处的
4、函数值，反映函数 f (x) 在x x 附近的变化情况。要点诠释：函数的导数与在点 x 处的导数不是同一概念， f (x ) 是常数，是函数 f (x) 在 xx 处的.专心.切线方程为y12xy2x1设l的方程为y2xm，那么d|m1的求导法那么yyy或f(x)f(u)(x)x况。要点诠释：函数的导数与在点x处的导数不是同一概念，f(f(x)ex.专心.6f(x)ax，f(x)axlyx 0。0 000 000 0 0.函数值，反映函数 f (x) 在x x 附近的变化情况。3导数几何意义：1 曲线的切线曲线上一点 P(x 0，y0) 及其附近一点 Q(x0+x,y 0+y) ，经过点 P、
5、Q作曲线的割线 PQ，其倾斜角为 ，则有kPQ =tan = x(y) . 当点 Q(x0+x,y 0+y) 沿曲线无限接近于点 P(x 0，y0) ，即x0 时，割线 PQ的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。假设切线的倾斜角为 ，那么当x0 时，割线 PQ斜率的极限，就是切线的斜率。即： tan = limx 0x = limf ( x x )- f ( x )x(2) 导数的几何意义：函数 y f (x) 在点 x0 的导数 f (x0 ) 是曲线 y f (x)上点 x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率。要点诠释：假设曲线 y f (x) 在点P(x , f (x )
6、处的导数不存在，但有切线，那么切线与x轴垂直。 f (x ) 0 ，切线与 x 轴正向夹角为锐角； f (x ) 0 ，切线与 x 轴正向夹角为钝角； 0 0f (x ) 0 ，切线与x轴平行。(3) 曲线的切线方程如果 y f (x)在点x 可导，那么曲线 y f (x)在点 x , f (x ) 处的切线方程为：y f (x ) f / (x )(x x ) 。0 0 0考点二：常见基本函数的导数公式1 f (x) C C为常数， f (x) 02 f (x) xn n 为有理数， f (x) n xn 1 3 f (x) sin x ， f (x) cos x4 f (x) cos x
7、， f (x) sin x5 f (x) ex ， f (x) ex.专心.ex(x)(cosxsinx)ex(cosxsinx)ex3y=lnx1x2；4f(x)ex(cosxC是否还有其他的公共点？答案1将x1代入曲线C的方程yx3x21，y3x22x3.1x1x11xxx2x21(1 1 x) 1 x7 f (x) ln x ， f (x) 1a x ax u x x即复合函数 y f (x) 对自变量 x 的导数 y ，等于函数 y 对中间变量u (x) 的导数y ，乘以中间变量u 对自变量x 的导数u 。1 1 x(1 1 x) 1 x.6 f (x) ax ， f (x) ax l
8、n a1x8 f (x) log x ， f (x) log e考点三：函数四那么运算求导法那么设 f (x) ， g(x) 均可导1 和差的导数： f (x) g(x) f (x) g (x)2 积的导数： f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)3 商的导数： f (x)g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)g(x)2 g(x) 0 考点四：复合函数的求导法那么y y y 或 f (x) f (u) (x)xu x要点诠释：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量， 逐层求导，不遗漏。 求导 后，要把中间变量转换成自变量的函数。 典型例
9、题类型一：导数概念的应用例 1、用导数的定义，求函数 y 解析 y f (1 x) f (1)f (x)1x在 x=1 处的导数。11 x11 1 x 1 xx(1 1 x) 1 xyx.专心.4565典型例题三例6如图，函数y=f(x)的图象在点P(ex1)(ex1)2ex(ex1)2(ex1)24yx3)2x35x22x13x1)6x210x312x1x2数四那么运算求导法那么设f(x)，g(x)均可导1和差的1x741 1lim 4 x 4 x 0xxxx1xx2 由导数的几何意义知，曲线在点P(4, ) 处的切线斜率为 f (4) ，所求切线的斜率为 所求切线方程为 y (x 4) ，
10、整理得 5x+16y+8=0。. f (1) limx 0y 1x 2 。举一反三： 变式 函数 y1 求函数在 x=4 处的导数.2 求曲线 y x上一点P(4,) 处的切线方程。 答案1 f (4) limx 0f (4 x) f (4)x 4 x ( 2)xlimx 0limx 01 14 x 4(2)4 xlimx 0x114(4 x) 4 x 2516 ，x4(4 x) 4 x 2x74516 。7 54 16例 2、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程. 解析 设 f (x) x3 2x .f (1) lim f (1 x) f (1) x 0lim x( x)2 3 x 5x 0lim (1 x)3 2(1 x) (13 2 1) x 0lim( x)2 3 x 5 5x 0由 f(1)=3 ，故切点为 1，3，切线方程为 y 3=5(x 1) ，即 y=5x 2.举一反三： 高清课堂： 导数的概念和运算 394565 典型例题五 变式 过(1,0) 点，曲线 y x3 的切线方程为。 答案 设所求切线的切点坐标为 Px0 ，y0，那么切线斜率为k 3x02.专心.sinx)答案(1)令
