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1、,AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。7(SAS)PBPM在PCM中，CMPMPCABACPBPC。BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。8同步练习的答分线。思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线BDE 入 手 ， 全 等 条 件 只 有AC BD ；由 AE BF 两边同时减去 EF 得到 AF BE 个全等条件，可以是CF DE ，也可以是 A B 。初二数学第十一章全等三角形综合复习切记： “有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不 一定全等。例1. 如图， A,F ,E,B 四点共线， AC CE ，BD DF ，
2、AE BF ，AC BD 。求证：ACF BDE 。思 路 ： 从 结 论 ACF，又得到一个全等条件。还缺少一由条件 AC 可以证明 ACE证明 ACACECE ，BD DF 可得 BDF ，从而得到CE ，BD DFBDF 90ACE BDFA B 。90 ，再加上 AE BF ，AC BD ，在 Rt ACE 与 Rt BDF 中AE BFAC BD Rt ACE A B AE BFAE EFRt BDF (HL)BF EF ，即 AF BE在 ACF 与 BDE 中AF BE A BAC BDACF BDE (SAS)思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论
3、入手，看 还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得 出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结： 本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件， 而且告诉我们如何去分析 一个题目，得出解题思路。例2. 如图，在 ABC 中， BE 是ABC 的平分线， AD BE ，垂足为 D 。求证：2 1 C 。1CA，PEAC于E，PFBN于FPEPFPDPE，PEPFP光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入
4、手，看思路：直接证明 2 1 C 比较困难，我们可以间接证明， 即找到 ，证明 2且 1 C 。也可以看成将 2 “转移”到 。那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将 AD 延长交 BC 于 F ，则构造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2= DFB ，可以由三角形外角定理得 DFB= 1+ C。证明：延长 AD 交 BC 于 F在 ABD 与 FBD 中ABD FBD BD BD ADB又 DFBABD FBD (ASAFDB 901 C 2 1 C 。2 DFB思考 ：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例 3. 如图， 在 ABC 中， AB BC ， AB
5、C 90 。F 为 AB 延长线上一点， 点 E 在 BC 上，BE BF ，连接 AE,EF 和CF 。求证： AE CF 。思路： 可以利用全等三角形来证明这两条线段相等， 关键是要找到这两个三角形。 以线段 AE 为边的 ABE 绕点 B 顺时针旋转90 到 CBF 的位置，而线段CF 正好是 CBF 的边，故只要证明它们全等即可。 证明： ABC 90 ， F 为 AB 延长线上一点ABC CBF 90在 ABE 与 CBF 中 AB BC ABC CBFBE BFABE CBF (SAS)AE CF 。思考 ：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结
6、： 利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三 角形。 这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助 线构造全等三角形。26.如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D为D。求证：21C。1思路：直接证明21C比较困难，我们可以SAS)AECF。思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三件是()5A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对例 4. 如图， AB /CD ， AD / BC ，求证： AB CD 。思路： 关于四边形我们知之甚少， 通过连接四边形的对角线， 可以把原问题转化为全等三 角形的问题。证明：
7、连接 AC AB / CD ， AD / BC 1 2 ， 3 4在 ABC 与 CDA 中1 2 AC CA 4 3ABC CDA (ASA)AB CD 。思考 ：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例 5. 如图， AP,CP 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 的平分线，它们交于点 P 。求证：BP 为 MBN 的平分线。思路： 要证明“ BP 为 MBN 的平分线”，可以利用点 P 到 BM ,BN 的距离相等来证明， 故应过点 P 向 BM ,BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“ AP,CP 分别是 MAC 和NCA 的平分线”，也需要作出点 P 到两外角两边
8、的距离。证明：过 P 作 PD BM 于 D ，PE AC 于 E ，PF BN 于 F AP 平分 PD PE CP 平分MAC ，PD BM 于 D ，PE AC 于 ENCA ，PE AC 于 E ，PF BN 于 FPE PF PD PE ，PE PF PD PF PD PF ，且 PD BM 于 D ，PF BN 于 FBP 为 MBN 的平分线。思考：题目已知中有角平分线的条件， 或者有要证明角平分线的结论时， 常过角平分线上的 一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。3再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”于第三边来证明，从而想到构造线段A
9、BAC。而构造ABAC可以三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小采用“截长”和“补短”两种方法。证明：法一：在AB上截取AN例 6. 如图， D 是 ABC 的边 BC 上的点，且CD AB ， ADB BAD ，AE 是 ABD 的中线。求证： AC 2AE 。思路： 要证明“ AC 2AE ”，不妨构造出一条等于 2AE 的线段，然后证其等于 AC 。因此，延长 AE至 F ，使 EF AE。证明 ：延长 AE 至点 F ，使 EF AE ，连接 DF在 ABE 与 FDE 中AE FE AEB FEDBE DEABE FDE (SAS)B EDF ADF ADB E
10、DF ，ADCBADB又 ADB BADADF ADC AB DF ， AB CD DF DC在 ADF 与 ADC 中AD AD ADF ADC DF DCADF ADC (SAS)AF AC又 AF 2AEAC 2AE 。思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形， 继而得出一些线段和角相等，甚至可以证 明两条直线平行。例 7. 如 图 ，在 ABC 中 ， AB AC ， 1 2 ， P 为 AD 上任 意一 点 。求证 ：AB AC PB PC 。4应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是()P分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边，连接PM在ABP
11、与AMP中ABAM12APAPABPAMP段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例7.如图，在ABC中原图 法一图 法二图思路： 欲证 AB AC PB PC ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差， 故用两边之差小于第三边来证明， 从而想到构造线段 AB AC 。而构造 AB AC 可以采用“截长”和“补短”两种方法。证明：法一：在 AB 上截取 AN AC ，连接 PN在 APN 与 APC 中AN AC 1 2AP APAPN APC (SAS)PN PC在 BPN 中， PB PN BNPB PC AB AC ，即 AB ACPB PC。法二：延长 AC 至 M ，
12、使 AM AB ，连接 PM在 ABP 与 AMP 中AB AM 1 2AP APABP AMP (SAS)PB PM在 PCM 中， CM PM PCAB AC PB PC 。思考 ：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是： 在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外 的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证 明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结： 本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我 们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作
13、，这样作有什么用处。同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )5；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这如图，在ABC中，ABBC，ABC90。F为AB延长线上一点m；7.如图，已知ABDC，ADBCAEB100，ADB30AD，增加下列条件：ABAE；BCED；CD；BE。A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一 ABC 的是( )A. AB 3 ，BC 4 ，CA 8 B. AB 4 ， BC 3 ， A 30C. C 60 ， B 45 ， AB 4 D. C 90 ， AB 63. 如图，已知 1 2 ， AC AD ，增加下列条件： AB AE ； BC ED ； C D ； B E 。其中能使 ABC AED 的
