《2024高考数学一轮复习小练49二面角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024高考数学一轮复习小练49二面角（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024高考数学一轮复习小练(49)一、单项选择题1.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若D为棱AA1上一点，二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A.B.C2 D.答案A解析如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)设ADa，a0，2，则D点坐标为(1，0，a)，(1，0，a)，(0，2，2)设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)，由得令z1，则m(a，1，1)又平面C1DC的一个法向量为n(0，1，0)，则由
2、cos 60，得，解得a(负值舍去)，所以AD.故选A.2四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角VABC的余弦值的大小为()A.B.C. D.答案B解析如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，易知O为底面ABCD的中心，连接OE，VE，根据题意可知，VEO是二面角VABC的平面角因为OE1，VE2，所以cosVEO.故选B.3.如图，棱长都相等的平行六面体ABCDABCD中，DABAADAAB60，则二面角ABDA的余弦值为()A. BC. D答案A解析棱长都相等的平行六面体ABCDABCD中，DABAADAAB60，则四面
3、体ABDA为正四面体，如图，取BD的中点E，连接AE，AE.设正四面体的棱长为2，则AEAE，且AEBD，AEBD，则AEA即为二面角ABDA的平面角，在AAE中，cosAEA.故二面角ABDA的余弦值为.二、解答题4.(2022成都七中模拟)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，H是AD的中点，四边形ABCH为正方形，ABAA1A1D1.(1)证明：平面B1CH平面ADD1A1；(2)求平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的余弦值答案(1)略(2)解析本题考查面面垂直的判定、二面角、空间向量的应用(1)证明：因为四边形ABCH为正方形，所以CHAH.因为AA1平
4、面ABCD，CH平面ABCD，所以CHAA1.因为AA1AHA，AH，AA1平面ADD1A1，所以CH平面ADD1A1.因为CH平面B1CH，所以平面B1CH平面ADD1A1.(2)由题意得，AB，AD，AA1两两垂直因为四边形ABCH为正方形，H是AD的中点，ABAA1A1D1，所以A1D1AD，A1B1AB.以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz如图所示，设AB1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，H(0，1，0)，B1，D(0，2，0)，D1(0，1，1)，则(1，0，0)，.设平面B1CH的一个法向量为n1(a，b，c)，则取b1，则n1(0，1，1)同理可得平面CDD1C1的一个
5、法向量为n2(1，1，1)设平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的平面角为，则cos ，所以平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的余弦值为.5.如图所示，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，四边形ABCD为矩形，CD2，PDAD，E为DC的中点(1)求证：AE平面PBD；(2)求二面角CPBE的余弦值答案(1)略(2)解析本题考查空间直线与平面间的垂直关系、求二面角、空间向量的应用(1)证明：四边形ABCD为矩形，ADEDAB，tanEADtanABD，EADABD.又ADBABD，EADADB，AEBD.又PD平面ABCD，AE平面ABCD，AEPD.BDPDD，BD，PD平
6、面PBD，AE平面PBD.(2)以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则C(0，2，0)，B(，2，0)，P(0，0，)，E(0，1，0)，设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别为平面PBC和平面PBE的法向量，则(，0，0)，(0，2，)，令z1，得m(0，1，)又(，2，)，(0，1，)，令z2，得n(，2，)，cosm，n.由图可知二面角CPBE为锐二面角，二面角CPBE的余弦值为.6(2022东北三校联考)在五边形AEBCD中，BCCD，CDAB，AB2CD2BC，AEBE，AEBE(如图)，将ABE沿AB折起使得平面ABE平面ABCD，线段AB的中点为O(如
7、图)(1)求证：平面ABE平面DOE；(2)求平面ABE与平面ECD所成锐二面角的大小答案(1)略(2)45解析(1)证明：由题意AB2CD，O是线段AB的中点，ABCD，则OBCD，OBCD，所以四边形OBCD为平行四边形，所以ODBC.因为BCCD，所以ABOD.因为AEBE，BOOA，所以EOAB，又EOODO，所以AB平面DOE.又AB平面ABE，所以平面ABE平面DOE.(2)由(1)知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为EAB为等腰直角三角形，且AB2CD2BC，则OAOBODOE.取CDBC
8、1，则O(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)，所以(1，0，0)，(0，1，1)设平面ECD的一个法向量为n(x，y，z)，则即取z1，则n(0，1，1)易得OD平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为(0，1，0)设平面ECD与平面ABE所成锐二面角为，则cos |cos，n|，所以45，故平面ECD与平面ABE所成锐二面角为45.7.如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，AB2DC2，ACBDF，且PAD与ABD均为正三角形，G为PAD的重心(1)求证：GF平面PDC；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦
9、值答案(1)略(2)解析(1)证明：设PD的中点为E，连接AE，CE，如图，易知A，G，E三点共线ABCD，AB2DC2，ACBDF，2.又G为PAD的重心，2，GFCE.又GF面PDC，CE面PDC，GF平面PDC.(2)设O为AD的中点，连接PO，PAD为正三角形，POAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.CDBABD60，DC，AB2，BCCD.过O分别作BC，AB的平行线，建系如图则P(0，0，3)，B(，0)，C(，0)，易知平面PAD的法向量n1(1，0)设平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，(，3)，(3，0，0)，得n2(0，)，
10、cosn1，n2，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.8.(2022衡水中学调研卷)请从下面三个条件中任选一个，补充在题中的横线上，并作答ABBC；FC与平面ABCD所成的角为；ABC.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，且PAAB2，PD的中点为F.(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若_，求二面角FACD的余弦值答案(1)略(2)略解析(1)存在线段AB的中点G，使得AF平面PCG.证明如下：如图所示，设PC的中点为H，连接FH，GH.F，H分别为PD，PC的中
11、点，FHCD，FHCD，在菱形ABCD中，G为AB中点，AGCD，AGCD，FHAG，FHAG，四边形AGHF为平行四边形，AFGH.又GH平面PCG，AF平面PCG，AF平面PCG.(2)选择，ABBC.PA平面ABCD，PAAB，PAAD.AB，AD，AP两两垂直，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系PAAB2，A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，(0，1，1)，(2，1，1)设平面FAC的一个法向量为(x，y，z)，则取y1，得(1，1，1)易知平面ACD的一个法向量为v(0，0，1)，设二
12、面角FACD大小为，由图知二面角FACD为锐二面角，则cos ，二面角FACD的余弦值为.选择，FC与平面ABCD所成的角为.如图，取BC中点E，连接AE，取AD的中点M，连接FM，CM，则FMPA，且FM1.PA平面ABCD，FM平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为FCM，FCM.在RtFCM中，CM.又CMAE，AE2BE2AB2，BCAE，又BCAD，AEAD.PA平面ABCD，PAAD，PAAE，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系PAAB2，A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，(0，1，1)，(，0，1)设平面FAC的一个法向量为m(x，y，z)，则取x，得m(，3，3)易知平面ACD的一个法向量为n(0，0，1)，设二面角FACD的大小为，由图知二面角FACD为锐二面角，则cos .二面角FACD的余弦值为.选择，ABC.取BC中点E，连接AE.PA平面ABCD，PAAE，PAAD，底面ABCD是菱形，ABC60，ABC是正三角形E是BC的中点，BCAE，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系以下同选择.
