《广西桂林市兴安县第三中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(理)试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《广西桂林市兴安县第三中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(理)试题(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、兴安三中2022年春季高二年级理科数学期中试题全卷满分:150分 考试用时:120分钟 一、 选择题 (本题共计 12 小题 ,每题 5 分 ,共计60分 , ) 1. 用反证法证明“2是无理数”时,正确的假设是() A.2不是无理数B.2是整数C.2不是有理数D.2是无理数2. 用数学归纳法证明不等式1+123+133+.+1n321n(n2,nN+)时,第一步应验证不等式( ) A.1+123212B.1+123+133213C.1+123213D.1+123+1332143. 函数y=x3+6x29的极小值为() A.9B.4C.18D.204. 已知复数z=5i12i(其中i为虚数单位
2、),则z的共轭复数为() A.2iB.2+iC.2iD.2+i5. 设xR,向量a=1,1,x,b=4,2,2,若ab,则x=() A.3B.1C.1D.36. 0cosxdx=( ) A.2B.2C.0D.7. 已知m,nR,i是虚数单位,若m+i1i=ni,则|n2mi|=() A.22B.4C.23D.38. 12ex+1xdx等于( ) A.e2ln2B.e2e+ln2C.e2+e+ln2D.e2eln29. 已知函数fx=xlnx2x+1,则曲线y=fx在点e,fe处的切线方程为() A.3xy2e+1=0B.e1x+ey2e2e=0C.e+1xey=0D.3xy3e+1=010.
3、若函数fx=12x22xb1lnx在定义域上单调递增,则实数b的取值范围为() A.(,1B.1,+)C.0,+)D.(,011. 由曲线y=x与直线x0,y1所围成封闭图形的面积为( ) A.13B.12C.23D.3212. 在三棱锥PABC中, PA平面ABC, BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点, AB=AC=2,PA=1,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为() A.31010B.55C.255D.1010卷II(非选择题) 二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 , ) 13. 已知a=(1,3,1),b=(1,1,3),则|ab|=
4、_ 14. 曲线fx=x3mxex1在点(1,f(1)处的切线与直线x4y1=0垂直,则该切线的方程为_. 15. 01(ex2x)dx=_. 16. 曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为_ 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,共计70分 , ) 17.(10分) 已知复数z=1i(i为虚数单位) (1)求|z|; (2)若z1+i=a+bi,求实数a和b的值18. (12分) 在数列an中,a1=12,an+1=3anan+3,求a2,a3,a4的值,由此猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想 19.(12分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD平
5、面ABCD,E为棱PB的中点,PB=2,PD=1,BPC=45. (1)证明:PC平面ADE. (2)求二面角PAED的余弦值.20.(12分) 已知函数fx=ax312x22x,其导函数为fx,且f1=2 (1)求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程;(2)求函数fx在1,2上的最大值和最小值21.(12分) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC是正三角形,侧面B1C1CB是菱形,平面B1C1CB平面ABC,直线CC1与平面ABC所成的角为60,M,N分别为AB,A1C1的中点 (1)求证:平面MNB1平面ABC; (2)求直线CA1与平面MNB1所成的角的余弦值22.(12分)
6、曲线fx=ax2+bx+34在x=0处取得极值,且曲线y=fx在点1,f1处切线垂直于直线2x+4y9=0. (1)求曲线y=fx与直线2x+4y9=0所围成图形的面积; (2)求经过点P1,94的曲线y=fx的切线方程参考答案与试题解析兴安县第三中学2022年春季高二年级理科数学期中试题一、 选择题 (本题共计 12 小题 ,每题 5 分 ,共计60分 ) 1.【答案】A【考点】反证法【解析】反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立【解答】解:用反证法证明“2是无理数”时,最恰当的证法是先假设2不是无理数.故选A2.【答案】A【考点】数学归纳法【解析】利用n=2写出不等式的形式,就是
7、第一步应验证不等式【解答】解:用数学归纳法证明不等式1+123+133+.+1n321n(n2,nN+)时,第一步应验证不等式:即当n=2时1+123212成立即可故选A3.【答案】A【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】此题暂无解析【解答】故选A.4.【答案】A【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解: z=5i12i=5i1+2i12i1+2i=5i25=2+i z=2i故选A5.【答案】D【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】利用两向量垂直,两向量数量积为零,列方程求解即可.【解答】解: ab, ab=42+2x=0,解得x=3.故选D.6.【答案
8、】C【考点】定积分【解析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】C7.【答案】A【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解:由m+i1i=ni得m+1+(1m)i=ni, m+1=01m=n,解得m=1,n=2, |n+2mi|=4+4=22.故应选A8.【答案】B【考点】定积分微积分基本定理【解析】利用微积分基本定理求解定积分即可.【解答】解:12(ex+1x)dx=ex+lnx|12=e2+ln2e.故选B.9.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解:因为fx=xlnx2x+1=2xlnxx+1,所以fe=e+1因为fx=2l
9、nx+1,所以fe=3,所以曲线y=fx在点e,fe处的切线方程为ye+1=3xe,即3xy2e+1=0故选A10.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由fx=x2b1x=x22x+1bx=x12bx,必有bx12恒成立,可得b0【解答】D11.【答案】A【考点】定积分的简单应用【解析】画出图形,根据图形即可求出【解答】曲线y=x与直线x0,y1所围成封闭图形的面积如图阴影部分所示,则S阴影=01y2dy=13y3|01=13,12.【答案】C【考点】直线与平面所成的角用空间向量求直线与平面的夹角【解析】通过建立空间直角坐标系求解即可【解答】解:以A为原点,AB,AC,AP所在直
10、线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=2,PA=1,得A0,0,0,B2,0,0,C0,2,0,P0,0,1,D1,0,0,E1,1,0,F0,1,12,所以PA=0,0,1,DE=0,1,0,DF=1,1,12,设平面DEF的法向量为n=x,y,z,则由nDE=0,nDF=0,得y=0,2x+2y+z=0.取z=2,则n=1,0,2设直线PA与平面DEF所成的角为,则sin=|PAn|PA|n|=255. 直线PA与平面DEF所成角的正弦值为255.故选C二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 ) 13.【答案】6【考点】空间向量运算的
11、坐标表示向量模长的计算14.【答案】4x+y1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系15.【答案】e2【考点】定积分16.【答案】16【考点】定积分在求面积中的应用两条直线的交点坐标三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,共计70分 ) 17.【答案】解:(1)|z|=12+12=2.(2)因为z1+i=1i21+i1i=2i2=i,所以a+bi=i,所以a=0,b=1【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算复数相等的充要条件18.【答案】解:a1=12=36,a2=37,a3=38,a4=39,猜想an=3n+5,下面用数学归纳法证明:当n=1时,a1=31+
12、5=12,猜想成立假设当n=kk1,kN时猜想成立,即ak=3k+5,则当n=k+1时,ak+1=3akak+3=33k+53k+5+3=3k+1+5, 当n=k+1时猜想也成立,由知,对nN,an=3n+5都成立【考点】数列递推式数学归纳法19.【答案】(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,FD,则EF/AD,由题意知AD平面PDC, ADPC,在RtPCB中,PB=2,BPC=45,则CB=2, PD=1, BD=3,CD=1, DFPC. DFAD=D, PC平面ADF,即PC平面ADE.(2)解:以D为原点,DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(2,0,0),C(0,1,0),E(22,12,12),P(0,0,1),由题知PC=(0,1,1),PA=(2,0,1),PE=(22,12,12),设平面PAE的法向量为n=(x,y,z),则nPA=2xz=0,nPE=22x+12y12z=0,令x=1,则y=0,z=2,得n=(1,0,2). PC平面ADE, PC为平面ADE的一个法向量, cos=PCn|PC|n|=33