《广西桂林市兴安县第三中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(理)试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西桂林市兴安县第三中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(理)试题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、兴安三中2022年春季高二年级理科数学期中试题全卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 用反证法证明“2是无理数”时，正确的假设是（） A.2不是无理数B.2是整数C.2不是有理数D.2是无理数2. 用数学归纳法证明不等式1+123+133+.+1n321n(n2,nN+)时，第一步应验证不等式( ) A.1+123212B.1+123+133213C.1+123213D.1+123+1332143. 函数y=x3+6x29的极小值为（） A.9B.4C.18D.204. 已知复数z=5i12i（其中i为虚数单位
2、），则z的共轭复数为（） A.2iB.2+iC.2iD.2+i5. 设xR，向量a=1,1,x，b=4,2,2，若ab，则x=（） A.3B.1C.1D.36. 0cosxdx=( ) A.2B.2C.0D.7. 已知m，nR，i是虚数单位，若m+i1i=ni，则|n2mi|=（） A.22B.4C.23D.38. 12ex+1xdx等于( ) A.e2ln2B.e2e+ln2C.e2+e+ln2D.e2eln29. 已知函数fx=xlnx2x+1，则曲线y=fx在点e,fe处的切线方程为（） A.3xy2e+1=0B.e1x+ey2e2e=0C.e+1xey=0D.3xy3e+1=010.
3、若函数fx=12x22xb1lnx在定义域上单调递增，则实数b的取值范围为（） A.(,1B.1,+）C.0,+）D.(,011. 由曲线y=x与直线x0，y1所围成封闭图形的面积为（ ） A.13B.12C.23D.3212. 在三棱锥PABC中， PA平面ABC， BAC=90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点， AB=AC=2，PA=1，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（） A.31010B.55C.255D.1010卷II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） 13. 已知a=(1,3,1)，b=(1,1,3)，则|ab|=
4、_ 14. 曲线fx=x3mxex1在点（1,f(1)处的切线与直线x4y1=0垂直，则该切线的方程为_. 15. 01(ex2x)dx=_. 16. 曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为_ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ） 17.(10分) 已知复数z=1i（i为虚数单位） (1)求|z|； (2)若z1+i=a+bi，求实数a和b的值18. （12分） 在数列an中，a1=12，an+1=3anan+3，求a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 19.(12分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD平
5、面ABCD，E为棱PB的中点，PB=2，PD=1，BPC=45. (1)证明：PC平面ADE. (2)求二面角PAED的余弦值.20.(12分) 已知函数fx=ax312x22x，其导函数为fx，且f1=2 (1)求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程；(2)求函数fx在1,2上的最大值和最小值21.(12分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面B1C1CB是菱形，平面B1C1CB平面ABC，直线CC1与平面ABC所成的角为60，M，N分别为AB，A1C1的中点 (1)求证：平面MNB1平面ABC； (2)求直线CA1与平面MNB1所成的角的余弦值22.(12分)
6、曲线fx=ax2+bx+34在x=0处取得极值，且曲线y=fx在点1,f1处切线垂直于直线2x+4y9=0. (1)求曲线y=fx与直线2x+4y9=0所围成图形的面积； (2)求经过点P1,94的曲线y=fx的切线方程参考答案与试题解析兴安县第三中学2022年春季高二年级理科数学期中试题一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】A【考点】反证法【解析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立【解答】解：用反证法证明“2是无理数”时，最恰当的证法是先假设2不是无理数.故选A2.【答案】A【考点】数学归纳法【解析】利用n=2写出不等式的形式，就是
7、第一步应验证不等式【解答】解：用数学归纳法证明不等式1+123+133+.+1n321n(n2,nN+)时，第一步应验证不等式：即当n=2时1+123212成立即可故选A3.【答案】A【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】此题暂无解析【解答】故选A.4.【答案】A【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解： z=5i12i=5i1+2i12i1+2i=5i25=2+i z=2i故选A5.【答案】D【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】利用两向量垂直，两向量数量积为零，列方程求解即可.【解答】解： ab， ab=42+2x=0，解得x=3.故选D.6.【答案
8、】C【考点】定积分【解析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】C7.【答案】A【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由m+i1i=ni得m+1+(1m)i=ni， m+1=01m=n，解得m=1,n=2， |n+2mi|=4+4=22.故应选A8.【答案】B【考点】定积分微积分基本定理【解析】利用微积分基本定理求解定积分即可.【解答】解：12(ex+1x)dx=ex+lnx|12=e2+ln2e.故选B.9.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：因为fx=xlnx2x+1=2xlnxx+1，所以fe=e+1因为fx=2l
9、nx+1，所以fe=3，所以曲线y=fx在点e,fe处的切线方程为ye+1=3xe，即3xy2e+1=0故选A10.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由fx=x2b1x=x22x+1bx=x12bx，必有bx12恒成立，可得b0【解答】D11.【答案】A【考点】定积分的简单应用【解析】画出图形，根据图形即可求出【解答】曲线y=x与直线x0，y1所围成封闭图形的面积如图阴影部分所示，则S阴影=01y2dy=13y3|01=13，12.【答案】C【考点】直线与平面所成的角用空间向量求直线与平面的夹角【解析】通过建立空间直角坐标系求解即可【解答】解：以A为原点，AB，AC，AP所在直
10、线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB=AC=2，PA=1，得A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，P0,0,1，D1,0,0，E1,1,0，F0,1,12，所以PA=0,0,1，DE=0,1,0，DF=1,1,12，设平面DEF的法向量为n=x,y,z，则由nDE=0,nDF=0,得y=0,2x+2y+z=0.取z=2，则n=1,0,2设直线PA与平面DEF所成的角为，则sin=|PAn|PA|n|=255. 直线PA与平面DEF所成角的正弦值为255.故选C二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【答案】6【考点】空间向量运算的
11、坐标表示向量模长的计算14.【答案】4x+y1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系15.【答案】e2【考点】定积分16.【答案】16【考点】定积分在求面积中的应用两条直线的交点坐标三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17.【答案】解：(1)|z|=12+12=2.(2)因为z1+i=1i21+i1i=2i2=i，所以a+bi=i，所以a=0，b=1【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算复数相等的充要条件18.【答案】解：a1=12=36，a2=37，a3=38，a4=39，猜想an=3n+5，下面用数学归纳法证明：当n=1时，a1=31+
12、5=12，猜想成立假设当n=kk1,kN时猜想成立，即ak=3k+5，则当n=k+1时，ak+1=3akak+3=33k+53k+5+3=3k+1+5， 当n=k+1时猜想也成立，由知，对nN，an=3n+5都成立【考点】数列递推式数学归纳法19.【答案】(1)证明：如图，取PC的中点F，连接EF,FD，则EF/AD，由题意知AD平面PDC， ADPC，在RtPCB中，PB=2，BPC=45，则CB=2， PD=1， BD=3，CD=1， DFPC. DFAD=D， PC平面ADF，即PC平面ADE.(2)解：以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，C(0,1,0)，E(22,12,12)，P(0,0,1)，由题知PC=(0,1,1)，PA=(2,0,1)，PE=(22,12,12)，设平面PAE的法向量为n=(x,y,z)，则nPA=2xz=0，nPE=22x+12y12z=0，令x=1，则y=0，z=2，得n=(1,0,2). PC平面ADE， PC为平面ADE的一个法向量， cos=PCn|PC|n|=33
