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1、2023-2024学年高三上学期开学质量检测数学试题考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z满足，则（ ）AB5CD202已知
2、全集，集合，则（ ）ABCD3一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，6，m，10，12，13，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ）A7.5B8C9D9.54设向量，的夹角的余弦值为，则（ ）AB1CD55已知，则（ ）ABCD6在平面直角坐标系中，扡物线的焦点为F，P是C上的一点，点M是y轴上的一点，且则的面积为（ ）ABCD7暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评其中甲的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积为
3、（ ）ABCD8已知函数的最小正周期为T，若，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）ABCD二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9下列说法正确的的是（ ）A若则B若，则C若，则D若，则10甲箱中有4个红球、4个黄球，乙箱中有6个红球、2个黄球（这16个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“在甲箱中取出的球是红球”为事件，“在甲箱中取出的球是黄球”为事件，“从乙箱中取出的球是黄球”为事件B则下列说法正确的是（ ）A与是互斥事
4、件BCD与B相互独立11已知正方体的棱长为4，点E，F，G，M分别是，的中点则下列说法证确的是（ ）A直线，是异面直线B直线与平面所成角的正切值为C平面截正方体所得截面的面积为18D三棱锥的体积为12已加点P是圆上的一点直线与直线交于点M则下列说法正确的是（ ）AB直线与圆O相切C直线被圆O截得的弦长为D的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中，项的系数为_14已知函数，若，则x的值为_15已知椭圆的左、右焦点分别为，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为，则C的离心率为_16已知函数，不等式对任意的恒成立，则a的最大值为_四、解答题：本题共6
5、小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设为公差不为0的等差数列的前n项和，若，成等比数列，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和18（本小题满分12分）电影评论，简称影评，是对一部电影的导演、演员、镜头、摄影、剧情、线索、环境、色彩、光线、视听语言、道具作用、转场、剪辑等进行分析和评论电影评论的目的在于分析、鉴定和评价蕴含在银幕中的审美价值、认识价值、社会意义、镜头语言等方面，达到拍摄影片的目的，解释影片中所表达的主题，既能通过分析影片的成败得失，帮助导演开阔视野，提高创作水平，以促进电影艺术的繁荣和发展；同时能通过分析和评价，影响观众对影片的理解
6、和鉴赏，提高观众的欣赏水平，从而间接促进电影艺术的发展某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取220人进行调查，得到数据如下表所示（单位：人）：好评差评合计男性70110女性60合计220（1）请将列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对该部影片的评价与性别有关联？（2）从给出“好评”的观众中按性别用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽出3人送电影优惠券，记随机变量X表示这3人中女性观众的人数，求X的分布列和数学期望参考公式：，其中参考数据：19（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边分
7、别为a，b，c，且（1）求角B的大小；（2）若，D是边的中点，且，求的内切圆的半径（1）当时，求图中阴影部分表示的集合C；（2）在；这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围20（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，点E是棱上的一点（1）若，求证：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值21（本小题满分12分）已知双曲线的离心率为，且过点（1）求C的方程；（2）设A，B为C上异于点P的两点，记直线，的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由22（本小题满分12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若的两个极值点分别为，证明：2023
8、2024学年高三上学期开学质量检测数学试题参考答案、提示及评分细则1A 因为，所以，所以故选A2C 由题意知，所以，所以故选C3C 由题意知，中位数是，极差为，所以，解得，又，则第60百分位数是9故选C4B 设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故选B5C 由，可得，即，所以故选C6D 由题意知，设，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以的面积故选D7B 圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，设圆锥的母线长为l，所以，解得设圆锥的底面圆半径为r，所以，解得，所以圆锥的高，设球O的半径为R，所以，解得，所以球O的表面积等于故选B8D 由题意的
9、最小正周期为T，则，又，可得，即，又，所以，由在区间上恰有3个零点，当时，结合函数的图象如图所示：则在原点右侧的零点依次为，所以，解得，即的取值范围为故选D9BD 当时，故A错误；因为，所以，所以，故B正确；当，时，故C错误；，又，所以，所以，故D正确故选BD10AC 从甲箱中摸一个球，红球与黄球不可能同时出现，所以与是互斥事件，故A正确；由题意知，所以，故B错误；，所以，故C正确；因为，故D错误故选AC11ACD 如图1，取的中点P，连接，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以直线，是异面直线，故A正确； 如图2，取的中点Q，连接，易得平面，所以是直线与平面所成角，易得，所以，即直线与
10、平面所成角的正切值为，故B错误；如图3，延长，交于点H，连接交于点N，连接，因为，M为的中点，则，所以B为的中点，因为，所以N为的中点，则，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，在等腰梯形中，则梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，故C正确；如图4，连接，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又M为的中点，所以三棱锥的高为，所以，故D正确故选ACD12ABD 因为，所以，故A正确；圆心O到的距离为，所以与圆O相切，故B正确；圆心O到直线的距离为，所以弦长为，故C错误；由，得，即，所以，所以的最小值为，故D正确故选ABD13135 展开式的通项公式，令，
11、解得，所以项的系数为140或27 令，即当时，解得，即，当时，解得，符合题意；当时，解得，符合题意；当时，解得，不符合题意综上，x的值为0或2715 由已知及对称性得：四边形为矩形，即，所以，由椭圆定义与勾股定理知：，所以，所以，所以，即C的离心率为161 因为，所以为上的奇函数又，所以在上单调递增不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立令，所以，所以当时，在上单层时，在上单调递减所以，所以，此时，所以，即a的最大值为117解：（1）设等差数列的公差为，因为，成等比数列，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以，所以的通项公式（2）由（1）知，所以
12、18解：（1）列联表如下：好评差评合计男性4070110女性6050110合计100120220零假设为：对该部影片的评价与性别无关联根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对该部影片的评价与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.010（2）从给出“好评”的观众中按性别用分层抽样的方法抽取10人，男性有：（人），女性有：（人）X的所有可能取值为0，1，2，3，所以，所以X的分布列为所以19解：（1）因为，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以（2）由余弦定理得，即又D是边的中点，且，所以，所以，即，所以，所以设的内切圆的半径为r，所以，所以20（1
13、）证明：连接，取中点F，连接，如图所示因为，所以，所以四边形为平行四边形所以，则，所以，即因为平面，平面，所以，平面，所以平面，又平面，所以又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以B为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以，所以，设平面的一个法向量，所以令，解得，所以平面的一个法向量因为，所以，所以，设平面的一个法向量，所以令，解得，所以平面的一个法向量设平面与平面的夹角为，所以即平面与平面的夹角的余弦值为21（1）解：由题意知，解得，所以C的方程为（2）证明：设，又，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，当直线的斜率为0时，所以，解得或，不符合题意，所以直线的斜率不为0设直线的方程为，由得，即，所以，所以，整理得，所以，所以，整理得，即，则或当时，直线的方程为，此时直线过定点；当时，直线的方程为，此时直线过定点即为，因为A，B为C上异于点的两个动点，所以不符合题意故直线过的定点为22（1）解：依题意，当时，所以在上单调递减；当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，所以在上单调递增（2）证明：不妨设，由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，所以，所以由（1）知，则要证，只需
