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1、安庆二中2023高三年数学模拟考试试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【详解】因为，因此，.故选：B.2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【详解】，故选：A.3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【详解】若，则为增函数所以，即即当时，所以故选：A4. 若是奇函数，则（ ）A. B. C.D. 【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.故
2、选：C.5. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据：，）（ ）A. B. C. D. 【详解】前2小时消除了20%的污染物，则故，污染物减少50%，则可得故故选：B6. 从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（ ）A. 、B. 、
3、C. 、D. 、【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，则弹簧振子运动时的最小正周期为，则，所以，由题意可得，所以，即，所以，则，则，令可得，所以，令，则，由可得，因为，则，当时，对应第张照片，当时，对应第张照片，当时，对应第张照片.故选：D7. 定义新运算“”如下：，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【详解】当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且当时，当时，则在上单调递增，所以得，解得.故选：C8. 设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，则双曲线的离心率
4、为（ ）A. B. C. D. 【详解】因为抛物线的焦点，由题可知，即抛物线方程为，令代入抛物线方程，可得，代入双曲线方程，可得，可设，由有 两边平方相减可得， ，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D错误.故选：C.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9. 若，则（ ）A. B. C. D. 【详解】A.因为，所以，所以，则，故正确；B. ，而，取不到等号，故正确；C. 因为，所以，故错误；D. 因为，所以，所以，故正确；故选：ABD10. 等差数列的前项和为，已知，则
5、（ ）A. B. 的前项和中最小C. 的最小值为-49D. 的最大值为0【详解】设数列的公差为d，则解得，A错误；，当n=5时取得最小值，故B正确；，设函数，则，当时，当时，所以，且，所以最小值为-49，C正确；，没有最大值，D错误故选：BC11. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ）A. 事件B与事件C互斥B. C 事件A与事件B独立D. 记C的对立事件为，则【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同
6、时发生，错误；选项B：，正确；选项C：，故A与B独立，正确；选项D：，正确；故选：BCD12. 在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bino）.如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，为垂足，则（ ）A. 平面B. 为三棱锥的外接球的直径C. 三棱锥的外接球体积为D. 三棱锥的外接球体积与三棱锥的外接球体积相等【详解】对于A选项，如下图，过点向引垂线，垂足为，平面，平面，则，则平面，又、平面，所以，则平面，这与平面矛盾，A错；对于B选项，平面，平面，则，在三棱锥中，则的中点到、的距离相等，所以为三棱锥的外接球的直径，故B正确；对于C选项，分别取、的中点、，连接，因为、分别为、的中
7、点，则，平面，则平面，平面，平面，则，故的外心为线段的中点，因为平面，则平面平面，故三棱锥的外接球球心在直线上，即该球球心在平面内，所以的外接圆直径为三棱锥的外接球直径，,在中，在中，由余弦定理得，故，则，所以三棱锥的外接球体积为，故C正确；因为，故为三棱锥的外接球的直径，且，而三棱锥的外接球直径为，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若单位向量，满足，则与的夹角为_【详解】已知，由，得，即，所以，又，所以与的夹角故答案为：.14. 已知直线 (斜率大于)的倾斜角的正弦值为，在轴上的截距为，直线与抛物线交于两点.若，则_.【详解】依题意，直线的倾斜角为
8、45，斜率k=1，直线的方程为：y=x+2，由得，设，则，从而有，即，而p0，解得p=4.故答案为：415. 已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为_.【详解】因为，又，所以，所以，当且时，因为在区间上单调递减，则，即，即，因为，则，则且，故，从而，因此，的最大值为.故答案为：.16. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为_【详解】解：令，则，因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，函数在点处的切线斜率为，令得，所以点P到直线距离的最小值为，所以
9、这两点之间距离的最小值为故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列的前n项和是，且，数列的通项为.（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和.【详解】(1)当时，；当时，显然满足上式，；(2)由（1）知：，所以，-得：，.18. 已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）若，求的值；（2）若，设D为CA延长线上一点，且，求线段AD的长.【详解】(1)由正弦定理，代，整理得；(2)ABC中，由正弦定理得或（舍）由得.19. 如图，在直四棱柱中，各棱长都为3，F为棱上一点，且（1）求证：平面平面；（2）求直线BD与平面所成
10、角的正弦值【答案】(1)如图，延长线段，CB交于点E，连接AE，则AE为平面与底面ABCD的交线由已知可得，所以易知底面ABCD是菱形因为，所以，在中，由余弦定理，可得，所以，即因为是直四棱柱，故平面ABCD，又平面ABCD，所以因为，所以平面，又平面，所以平面平面(2)如图，以E为坐标原点，直线EC，EA分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，则设直线BD与平面所成的角为，则，即直线BD与平面所成角的正弦值为20. 对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为，三个部分.要击落飞机，必须在部分命中一次，或在部分命中两次，或在部分命中三次.设炮弹击落飞
11、机时，命中部分的概率是，命中部分的概率是，命中部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.（1）求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；（2）求击落飞机的命中次数的分布列和数学期望.【答案】（1）设恰好第二次射击后击落飞机为事件是第一次未击中部分，在第二次击中部分的事件与两次都击中部分的事件的和，它们互斥，所以.(2)依题意，的可能取值为1，2，3，4，的事件是射击一次击中部分的事件，由(1)知，的事件是前两次射击击中部分、部分各一次，第三次射击击中部分或部分的事件，与前两次射击击中部分，第三次射击击中部分或部分的事件的和，它们互斥，的事件是前三次射击击中部分
12、一次，部分两次，第四次射击的事件，所以的分布列为：1234的数学期望.21. 已知函数（1）当时，求函数的极小值；（2）若上，使得成立，求的取值范围【答案】（1）当时，令0，得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以在时取得极小值为.（2）由已知：，使得，即：设，则只需要函数在上的最小值小于零又，令，得（舍去）或当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为，由，可得因为，所以当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为，由，可得（满足）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为因为，所以，所以，即，不满足题意，舍去综上可得或，所以实数的取值范围为22. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点
13、重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3（1）求椭圆E的标准方程；（2）设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否可以在同一个圆上？若可以，请求出所有这样的直线m与直线l；否则请说明理由【答案】（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，由已知得，所以，即，解得，则椭圆E的标准方程为（2）因为两条不同的直线m与l直线均过椭圆的右焦点，且互相垂直，由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中， ，将直线l的方程代入椭圆方程得，所以， 若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则， 所以，所以，所以，同理，所以， 则，所以，此时存在这样的直线m与直线l，其方程为和当直线l的斜率为0或斜率不存在时，A，B，C，D显然不在同一个圆上综上，存在这样的直线m与直线l，其方程为和
