考研真题：《数学三》2023年考试真题与参考答案

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1、1考研真题：数学三2023 年考试真题与参考答案考研真题：数学三2023 年考试真题与参考答案一、选择题一、选择题110 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.110 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.已知函数，则（）.A.不存在，存在B.存在，不存在C.存在，存在D.不存在，不存在答案：A答案解析：由已知，则，.当时，；当时，；所以不存在.(,)ln(|sin|)f x yyxy(0,1)fx(

2、0,1)fy(0,1)fx(0,1)fy(0,1)fx(0,1)fy(0,1)fx(0,1)fy(,)ln(|sin|)f x yyxy(,1)ln(1|sin1|)f xx(0,)lnfyy0 x(,1)ln(1sin1)f xx(0,1)0(,)d(,1)sin1dxf x yf xxx0 x(,1)ln(1sin1)f xx(0,1)0(,)d(,1)sin1dxf x yf xxx(0,1)(,)f x yx2又，存在.故选 A.2.函数的一个原函数为（）.ABCD答案：D答案解析：由已知，即连续.所以在处连续且可导，排除 A，C.又时，排除 B，故选 D.3.若的通解在上有界，则（）

3、.A.B.C.D.(0,1)1(,)d(0,)1dyf x yfyyy21,0()1(1)cos,0 xf xxxx x2ln1,0()(1)cossin,0 xxxF xxxx x2ln11,0()(1)cossin,0 xxxF xxxx x2ln1,0()(1)sincos,0 xxxF xxxx x2ln11,0()(1)sincos,0 xxxF xxxx x00lim()lim()(0)1xxf xf xf()f x()F x0 x 0 x(1)cossin cos(1)sincos(1)sinxxxxxxxxx 0yayby(,)0,0ab0,0ab0,0ab0,0ab3答案：D

4、答案解析：微分方程的特征方程为.若，则通解为；若，则通解为；若，则通解为.由于在上有界，若，则中时通解无界，若，则中时通解无界，故.时，若，则，通解为，在上有界.时，若，则，通解为，在上无界.综上可得，.4.设，且与收敛，绝对收敛是绝对收敛的（）.A.充分必要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件答案解析：由已知条件可知为收敛的正项级数，进而绝对收敛.设绝对收敛，则由与比较判别法，得 绝对收玫;0yayby20rarb240ab2221244()e(cossin)22axbabay xCxCx240ab2244222212()eeab aab axxy xCC 24

5、0ab212()()eaxy xCC x()y x(,)02ax02ax 0a 0a 0b1,2rbi12()(cossin)y xCbxCbx(,)0a 0b1,2rb 12()eebxbxy xCC(,)0a 0bnnab1nna1nnb1nna1nnb1()nnnba1()nnnba1nnannnnnnnbbaabaa1nnb4设绝对收敛，则由与比较判别法，得绝对收敛.故选A.5.为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则A.B.C.D.答案：B答案解析：由于，故。故选 B.6.的规范形为A.B.nbnnnnnnnaabbbab1nna,A BE*MM*AEOB*|A BB AOB A*|B

6、 AA BOA B*|B AB AOA B*|A BA BOB|A*|AEAEAEEOA BOOBOBOBOEOA B*1|AEAEA BOOBOBOA B1111|A BOAA BOA BOB1111|A ABA AB BOBA B*|ABA BOBA222123121323(,)()()4()f x x xxxxxxx2212yy2212yy5C.D.答案：B答案解析：，二次型的矩阵为，故规范形为，故选 B.7.已知向量组，若 既可由 线性表示，又可由线性表示，则()A.B.C.D.2221234yyy222123yyy222123121323(,)()()4()f x x xxxxxxx

7、222123121 323233228xxxx xx xx x211134143A211210|134(7)131143141 AE210(7)210(7)(3)0141 1233,7,0 2212yy121212212,1,5,03191 12,12,33,4kkR 35,10kkR11,2kkR15,8kkR 6答案：D答案解析：设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，解得，故.8.设服从参数为 1 的泊松分布，则（）.A.B.C.D.答案：答案：C答案解析：方法一：答案解析：方法一：由已知可得，故.故选 C.方法二：方法二：由于，于是于是.11223142kkkk 1122

8、3142kkkk 0 1234,k k k k121212211003(,)2150010131910011A TTTT1234(,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k kCCCC C 11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8CkkCCCkkRC X(|()|)EXE X1e122e11e(0,1,2,)!P Xkkk()1E X 111100|1|(1)(|()|)(|1|)eeee!kkkkEXE XEXkk12=2e(1)eE X0e!kxkxk1111e1(1)!(1)!kkxkkxxxkxkx1121111e1(1)e1(1)!(1)!(1)

9、!kkkxxkkkkxxxxxkkxkxx7由已知可得，故.故选 C.9.设为来自总体的简单随机样本，为来自总体的简单随机样本，且两样本相互独立，记，则()A.B.C.D.答案：答案：D答案解析：答案解析：由两样本相互独立可得与相互独立，且，因此，故选 D.1e(0,1,2,)!P Xkkk()1E X 111(1)(|()|)(|1|)ee!kkEXE XEXk111=ee(1)!kkk1121(1)e1=eexxxx112eee111(|()|)(|)e()e()1eEXE XE YE YE X 12,nX XX21(,)N 12,mY YY22(,2)N11niiXXn11miiYYm2

10、2111()1niiSXXn22211()1miiSYYm2122(,)SF n mS:2122(1,1)SF nmS:21222(,)SF n mS:21222(1,1)SF nmS:212(1)nS222(1)2mS2212(1)(1)nSn:2222(1)(1)2mSm:2122122222(1)(1)2(1,1)(1)(1)2nSnSF nmmSSm:810.已知总体服从正态分布，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，记，若，则().A.B.C.D.答案：答案：A答案解析：答案解析：由与，为来自总体的简单随机样本，相互独立，且，因而，令，所以的概率密度为，所以，由，即，解得，故选

11、A.二、填空题二、填空题1116 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.1116 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.X2(,)N 01X2XX12|a XX()Ea 22221X2XX1X2X21(,)XN:22(,)XN:212(0,2)XXN12YXXY222 21()e22yYfy22222 24012(|)|ed2ed222yyyE Yyyy12()(|)EaEXX2(|)aE Ya2a911求极限_.答案：答案解析：.12已知函数满足，且，则_.答案：答案解析：由已知，则，所以，即，从而，又，解得，故，.211lim2sin

12、cosxxxxx231220sin2cos11lim2sincoslimxtxttttxxxxt222230000sin111 cossin2limlimlimlimtttttttttttttt112623(,)f x y22ddd(,)x yy xf x yxy(1,1)4f(3,3)f322(,)f x yyxxy22(,)f x yxyxy22(,)darctan()yxf x yxyxyy 22(,)()f x yxyyxy()0y()yC(,)arctanxf x yCy(1,1)4f2C(,)arctan2xf x yy3(3,3)arctan233f1013._.答案：答案解析：

13、令，则，且，从而可得微分方程，解得，又，解得，故.14.某公司在 时刻的资产为，则从时刻到 时刻的平均资产等于，假设连续且，则_.答案：.答案解析：由已知可得，整理变形，等式两边求导，即，解得一阶线性微分方程通解为，又，解得，故.20(2)!nnxnee2xx20()(2)!nnxS xn(0)1S211()(21)!nnxS xn(0)0S22210()()(22)!(2)!nnnnxxSxS xnn()()0SxS x12()eexxS xCC(0)1S(0)0S1212CC20ee()(2)!2nxxnxS xnt()f t0t()f ttt()f t(0)0f()f t 2(e1)tt

14、 0()d()tf ttf tttt20()d()tf ttf tt()()2f tf tt()()2f tf tt()2(1)etf ttC(0)0f2C()2(e1)tf tt 1115.有解，其中为常数，若，则_.答案：8 答案解析：方程组有解，则，故.16.设随机变量与相互独立，且，则与的相关系数为_.答案：答案：答案解析：答案解析：由题意可得，又由与相互独立可知，故三、解答题三、解答题1722 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1722 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本 题 10 分）已 知 函 数满 足，且.（1）求的

15、值;13123123121,0,20,2axxxaxxxxaxaxbx,a b0111412aaa11120aaab0111101110|122 11012001202aaaaaaaabaab A111280aaabXY1,XBp:2,YBp:(0,1)pXYXY13()(1)D Xpp()2(1)D YppXY()()()D XYD XD Y(,)Cov(,)()()()()()()()()X Y X YXY XYD XD YD XYD XYD XD YD XD Y()()(1)2(1)1()()(1)2(1)3D XD YppppD XD Ypppp()yy x2eln(1)cos0 xa

16、yyxyb(0)0,(0)0yy,a b12（2）判断是否为函数的极值点.答案：答案：（1）将代入得.方程两边对求导得，将代入上式得，解得.（2）由（1）知，上式两边再对求导得将代入上式得，所以是函数的极大值点.18.（本题 12 分）已知平面区域，（1）求平面区域的面积.（2）求平面区域绕一周所形成得旋转体的体积答案：答案：（1）.（2）.0 x()yy x(0)0y2eln(1)cos0 xayyxyb0ab2eln(1)cos0 xayyxybx1e2cosln(1)sin01xayyyyxy yx(0)0y10a 1,1ab 1e2cosln(1)sin01xyyyyxy yxx22111e2()2cossinsinln(1)cosln(1)sin0(1)11xyyyyyy yyxy yyxy yxxx(0)0,(0)0yy(0)2y0 x()yy x21(,)|0,11Dx yyxxxDSDx22221441sec1dddtan secsin1tSxtttttxx222244sin1ddcossin1 costtttt 241cos1121lnln2cos1221tt2222