《考研真题：《数学二》2023年考试真题与参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研真题：《数学二》2023年考试真题与参考答案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考研真题：2023 年数学二考试真题与参考答案考研真题：2023 年数学二考试真题与参考答案一、选择题一、选择题110 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.110 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.的斜渐近线为()A.B.C.D.答案：B答案解析：由已知，则，所以斜渐近线为.故选 B.1ln(e)1yxxeyx1eyxyx1eyx1ln e1yxx1limlimln elne11xxyxx11
2、limlimln elimln e111xxxyxxxxxx1limln elne1xxx1lim ln 1e(1)xxx1lime(1)exxx1eyx22.函数的一个原函数为（）.ABCD答案：D答案解析：由已知，即连续.所以在处连续且可导，排除 A，C.又时，排除 B.故选 D.3.设数列满足，当时().A.是的高阶无穷小B.是的高阶无穷小C.是的等价无穷小D.是的同阶但非等价无穷小答案：B21,0()1(1)cos,0 xf xxxx x2ln1,0()(1)cossin,0 xxxF xxxx x2ln11,0()(1)cossin,0 xxxF xxxx x2ln1,0()(1)s
3、incos,0 xxxF xxxx x2ln11,0()(1)sincos,0 xxxF xxxx x00lim()lim()(0)1xxf xf xf()f x()F x0 x 0 x(1)cossin cos(1)sincos(1)sinxxxxxxxxx ,nnxy111111,sin,22nnnnxyxxyyn nxnynynxnxnynxny3答案解析：在中，从而.又，从而，所以.故选 B.4.若的通解在上有界，这（）.A.B.C.D.答案：D答案解析：微分方程的特征方程为.若，则通解为；若，则通解为；若，则通解为.由于在上有界，若，则中时通解无界，若，则中时通解无界，故.时，若，则
4、，通解为，在上有界.时，若，则，通解为，在上无界.综上可得，.故选 D.0,22sin xx12sinnnnxxx112nnyy1111122444nnnnnnnnyyyyxxxx11lim0nnnyx0yayby(,)0,0ab0,0ab0,0ab0,0ab0yayby20rarb240ab2221244()e(cossin)22axbabay xCxCx240ab2244222212()eeab aab axxy xCC 240ab212()()eaxy xCC x()y x(,)02ax02ax 0a 0a 0b1,2rbi12()(cossin)y xCbxCbx(,)0a 0b1,2
5、rb 12()eebxbxy xCC(,)0a 0b45.设函数由参数方程确定，则().A.连续，不存在B.存在，在处不连续C.连续，不存在D.存在，在处不连续答案：C答案解析：，故在连续.时，；时，；时，故在连续.，故不存在.故选 C.6.若函数在处取得最小值，则()A.B.C.D.答案：A()yf x2|sinxttytt()f x(0)f(0)f()fx0 x()fx(0)f(0)f()fx0 x 00limlim|sin0(0)xtytty()f x0 x 00()(0)|sin(0)limlim02|xtf xfttfxttsincos,03()()00()sincos0tttty
6、tfxtx ttttt0t 0 x 0t 0 x 0t 0 x()fx0 x 00sincos0()(0)23(0)limlim39xttttfxffxt00()(0)sincos0(0)limlim2xtfxftttfxt(0)f 121()(ln)fdxxx0=0=1ln(ln2)ln(ln2)1ln2ln25答案解析：已知，则，令，解得故选 A.7.设函数.若没有极值点，但曲线有拐点，则的取值范围是().A.B.C.1，2)D.答案：C.答案解析：由于没有极值点，但曲线有拐点，则有两个相等 的 实 根 或 者 没 有 实 根，有 两 个 不 相 等 的 实 根.于 是 知解得.故选 C.
7、8.为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则A.B.C.D.答案：B112221d(ln)111()d(ln)(ln)(ln)(ln2)aaaaxf axxxxxaa 2111 lnln2111()lnln2(ln2)(ln2)(ln2)aaafaaaaa ()0fa01.lnln2a 2()()exf xxa()f x()yf xa0,1)1,)2,)()f x()yf x2()(2)exfxxxa2()(42)exfxxxa440,164(2)0,aa12a,A BE*MM*AEOB*|A BB AOB A*|B AA BOA B*|B AB AOA B*|A BA BOB|A6答案解析：由
8、于，故.故选 B.9.的规范形为A.B.C.D.答案：B答案解析：，二次型的矩阵为，故规范形为，故选 B.*|AEAEAEEOA BOOBOBOBOEOA B*1|AEAEA BOOBOBOA B1111|A BOAA BOA BOB1111|A ABA AB BOBA B*|ABA BOBA222123121323(,)()()4()f x x xxxxxxx2212yy2212yy2221234yyy222123yyy222123121323(,)()()4()f x x xxxxxxx222123121 323233228xxxx xx xx x211134143A211210|134(
9、7)131143141 AE210(7)210(7)(3)0141 1233,7,0 2212yy710.已知向量组，若 既可由 线性表示，又可由线性表示，则()A.B.C.D.答案：D答案解析：设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，解得，故.故选 D.二、填空题二、填空题1116 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.1116 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.11 当时，与是 等 价 无 穷 小，则_.121212212,1,5,03191 12,12,33,4kkR 35,10kkR11,2kkR15,8kkR
10、11223142kkkk 11223142kkkk 0 1234,k k k k121212211003(,)2150010131910011A TTTT1234(,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k kCCCC C 11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8CkkCCCkkRC 0 x 2()ln(1)f xaxbxx2()ecosxg xxab8答案：答案解析：由题意可知，于是，即，从而.12.曲线的孤长为_.答案：答案解析：曲线的孤长为.13.设函数由方程确定，则_.答案：答案解析：将点带入原方程，得.22200()ln(1)1limlim()e
11、cosxxxf xaxbxxg xx222022221()2lim11+()1()2xaxbxxxo xxo xxo x220221(1)()()2lim3()2xaxbxo xxo x1310,22ab 1,2ab 2ab 233dtxyt433233dtxyt3332223331d1 3d4yxxxx dx 32024x dx2sin2330022cos d2sin8cosdxtttt t301 cos282tdt3014sin22tt433(,)zz x ye2zxzxy22(1,1)xz32(1,1)0z 9方程两边对求偏导，得，两边再对求偏导，得，将代入以上两式，得，.14.曲线在对
12、应点处的法线斜率为_.答案：答案解析：当时，.方程两边对求导，得，将，代入，得.于是曲线在对应点处的法线斜率为.15.设连续函数满足，则_.答案：答案解析：.16.有解，其中为常数，若，则_.答案：e2zxzxyxe2zzzzxxxx22222ee20zzzzzzxxxxx1,1,0 xyz(1,1)1zx22(1,1)32xz 35332xyy1x 1191x 1y 35332xyyx2429(56)xyyy1x 1y 9(1)11y35332xyy1x 119()f x(2)()f xf xx20()d0f x x 31()df x x 12332312110101()d()d()d()d
13、()d()df x xf x xf x xf x xf x xf x x3120()d()df x xf x x11120001(2)d()dd2xtf ttf x xx x 13123123121,0,20,2axxxaxxxxaxaxbx,a b0111412aaa11120aaab810答案解析：方程组有解，则，故.三、解答题三、解答题1722 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1722 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题 10 分）设曲线经过点，上任一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距，（1）求；（2）在 L 上求一
14、点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.答案：答案：()曲线在点处的切线方程为，令，则切线在轴上的截距为，则，即，解得，其中为任意常数.又，则，故.()设曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为.令，则；令，则.故切线与两坐标轴所围三角形面积为，则.令，得驻点.0111101110|122 11012001202aaaaaaaabaab A111280aaab):(e()L yyxx2(e,0)L(,)P x yyy()y xL(,)P x y()()Yyy x Xx0X y()Yyxy x()xyxy x11yyx()(ln)y xx CxC2(e)
15、0y2C()(2ln)y xxxL(,(2ln)x xx(2ln)(1 ln)()Yxxx Xx0Y ln1xXx0X Yx211()22 ln12(ln1)xxS xXYxxx2(2ln3)()2(ln1)xxS xx()0S x32ex 11当时，；当时，故在处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为.18.（本题 12 分）求函数的极值.答案：由已知条件，有，.令，解得驻点为，其中为奇数；，其中为偶数.，.在点处，其中为奇数，由于，故不是极值点，其中为奇数.在点处，其中为偶数，由于，且，故为极小值点，其中为偶数，且极小值为.19.（本题 12 分）已知平面区域，（1）求平面区域的面积.32
16、eex()0S x32ex()0S x()S x32ex 332(e)eS2cos(,)e2yxf x yxcos(,)eyxfx yxcos(,)e(sin)yyfx yxy(,)0,(,)0 xyfx yfx y1,ekk(e,)kk(,)1xxfx ycos(,)e(sin)yxyfx yycos2cos(,)esinecosyyyyfx yxyxy1,ekk1,1exxAfk1,0exyBfk21,eeyyCfk20ACB1,ekk(e,)kk(e,)1xxAfk(e,)0 xyBfk2(e,)eyyCfk20ACB0A(e,)kk2e(e,)2fk 21(,)|0,11Dx yyxxxDS12(2)求平面区域绕一周所形成的旋转体的体积.答案：(1).(2).20.（本题 12 分）设平面区域位于第一象限，由曲线，与直线围成，计算.答案：.21.（本题 12 分）设函数在上有二阶连续导数.（1）证明：若，存在，使得；Dx22221441sec1dddtan secsin1tSxtttttxx222244sin1ddcossin1 costtttt 241cos1121lnln2
