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1、题型突破（六）操作探究型问题操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等试验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合理猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题;(2)图形剪拼;(3)操作探究;(4)数学建模.解题策略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.类型一折叠折叠问题:折叠是中考中常见问题.解题时用到的主要策略有:折痕两侧的对应部分全等;对应点连线被折痕垂直平分.折叠问题中还常出现角平分线,可以尝试用等腰、半角模型等策略解决问题.例1 2019连云港问题情境:如图Z6-1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(
2、不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.判断线段DN,MB,EC之间的数量关系,并说明理由.图Z6-1问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求AEF的度数;(2)如图,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将APN沿着AN翻折,点P落在点P处,若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求PS的最小值.图Z6-1图Z6-1【分层分析】问题情境:DN+MB=EC.过点B作BFMN分别交AE,CD于点G,F,证出四边形MBFN为平行四边形,得出NF=MB
3、,证明ABEBCF,得出BE=CF,即可得出结论.例1 2019连云港问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求AEF的度数;图Z6-1【分层分析】问题探究:(1)想要求AEF的度数,可以尝试将其放在特殊的三角形中求解,例如从AQE的形状入手;例1 2019连云港问题探究:在“问题情境”的基础上.(2)如图,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将APN沿着AN翻折,点P落在点P处,若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求PS的最小值.图Z6-1【分层分析】问题探究:(2)要求线段PS的
4、最小值,研究之后发现,其中有个端点(点S)是定点,如果能够确定点P运动的轨迹,那么就容易确定线段PS的最小值.图Z6-1【分层分析】问题拓展:利用折叠可知道相应的边、角相等,本题可以尝试利用三角形相似来求解线段的长度.|题型精练|1.2017扬州如图Z6-2,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DPBC,若BP=4cm,则EC=cm.图Z6-22.2017济宁试验探究:(1)如图Z6-3,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.请你观察图,猜想MBN
5、的度数是多少,并证明你的结论.(2)将图中的三角形纸片BMN剪下,如图.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.图Z6-32.2017济宁试验探究:(2)将图中的三角形纸片BMN剪下,如图.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.图Z6-33.2016徐州27题如图Z6-4,将边长为6的正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合,折痕为EF,展平后,再将点B折到边CD上,使边AB经过点E,折痕为GH,点B的对应点为M,点A的对应点为N.(1)若CM=x,则CH=(用含x的代数式表示);(2)求折痕GH的长.图Z6-43.20
6、16徐州27题如图Z6-4,将边长为6的正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合,折痕为EF,展平后,再将点B折到边CD上,使边AB经过点E,折痕为GH,点B的对应点为M,点A的对应点为N.(2)求折痕GH的长.图Z6-44.2017徐州26题如图Z6-5,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠,展开后,得折痕AD,BE(如图),点O为其交点.(1)探求AO与OD的数量关系,并说明理由.图Z6-5(2)如图,若P,N分别为BE,BC上的动点.当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度;如图,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值=.图Z6-54.2017徐州2
7、6题如图Z6-5,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠,展开后,得折痕AD,BE(如图),点O为其交点.(2)如图,若P,N分别为BE,BC上的动点.当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度;图Z6-54.2017徐州26题如图Z6-5,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠,展开后,得折痕AD,BE(如图),点O为其交点.(2)如图,若P,N分别为BE,BC上的动点.如图,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值=.图Z6-55.2018徐州28题如图Z6-6,将等腰直角三角形纸片ABC对折,折痕为CD.展平后,再将点B折叠在边AC上(不与A
8、,C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.已知BC=4.(1)若点M为AC的中点,求CF的长.图Z6-6(2)随着点M在边AC上取不同的位置.PFM的形状是否发生变化?请说明理由.求PFM的周长的取值范围.图Z6-65.2018徐州28题如图Z6-6,将等腰直角三角形纸片ABC对折,折痕为CD.展平后,再将点B折叠在边AC上(不与A,C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.已知BC=4.(2)随着点M在边AC上取不同的位置.PFM的形状是否发生变化?请说明理由.求PFM的周长的取值范围.图Z6-66.2015淮安阅
9、读理解:如图Z6-7,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,B=D=90,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.图Z6-7将一张如图所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图所示的形状,再展开得到图,其中CE,CF为折痕,BCE=ECF=FCD,点B为点B的对应点,点D为点D的对应点,连接EB,FD相交于点O.图Z6-7简单应用:(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是;(2)当图中的BCD=120时,AEB=;(3)当图中的四边形AECF为菱形时,对应图中的“完美筝形”有个(包含四边形ABCD).图Z6-7拓展提升:当图中的BCD=90时,连接AB,
10、请探求ABE的度数,并说明理由.图Z6-7解:简单应用:(1)正方形解析因为平行四边形和菱形中不一定有直角,矩形两条邻边不一定相等,所以一定为“完美筝形”的是正方形.6.2015淮安阅读理解:如图Z6-7,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,B=D=90,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.图Z6-7将一张如图所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图所示的形状,再展开得到图,其中CE,CF为折痕,BCE=ECF=FCD,点B为点B的对应点,点D为点D的对应点,连接EB,FD相交于点O.简单应用:(2)当图中的BCD=120时,AEB=;图Z6-7解:简单应用:(2)80解析在图
11、中,因为BCD=120,BCE=ECF=FCD,所以BCE=ECF=FCD=40.又因为B=90,所以BEC=50,所以BEC=50,所以AEB=180-50-50=80.6.2015淮安阅读理解:如图Z6-7,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,B=D=90,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.图Z6-7将一张如图所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图所示的形状,再展开得到图,其中CE,CF为折痕,BCE=ECF=FCD,点B为点B的对应点,点D为点D的对应点,连接EB,FD相交于点O.简单应用:(3)当图中的四边形AECF为菱形时,对应图中的“完美筝形”有个(包含四边形A
12、BCD).图Z6-7解:简单应用:(3)56.2015淮安阅读理解:如图Z6-7,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,B=D=90,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.图Z6-7将一张如图所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图所示的形状,再展开得到图,其中CE,CF为折痕,BCE=ECF=FCD,点B为点B的对应点,点D为点D的对应点,连接EB,FD相交于点O.拓展提升:当图中的BCD=90时,连接AB,请探求ABE的度数,并说明理由.图Z6-7类型二平移旋转平移旋转类型:平移和旋转也是中考中常见问题.解题时用到的主要策略有:平移或旋转前后图形全等;而旋转有时会涉及相似.在这
13、类问题中也常常伴随求解线段的最值问题.例2 2019淮安如图Z6-8,在ABC中,AB=AC=3,BAC=100,D是BC的中点.小明对图进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80,点B的对应点是点E,连接BE,得到BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.图Z6-8请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图所示.BEP=;连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.图Z6-8(2)请在图中画出BPE,使点E在直线AD的右侧,连
14、接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.图Z6-8【分层分析】(1)利用等腰三角形的性质,使用三角形的内角和定理求BEP;利用内错角相等证明CE与AB平行.例2 2019淮安如图Z6-8,在ABC中,AB=AC=3,BAC=100,D是BC的中点.小明对图进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80,点B的对应点是点E,连接BE,得到BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.图Z6-8(2)请
15、在图中画出BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.图Z6-8【分层分析】(2)在DA延长线上取点F,使BFA=CFA=40,则有BPEBFC,再证明BPFBEC,然后利用内错角相等证明CEAB.例2 2019淮安如图Z6-8,在ABC中,AB=AC=3,BAC=100,D是BC的中点.小明对图进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80,点B的对应点是点E,连接BE,得到BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的
16、右侧.图Z6-8(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.图Z6-8【分层分析】(3)当点P在线段AD上运动时,AE的最小值为3.|题型精练|图Z6-91.2017泰安如图Z6-9,在正方形网格中,线段AB是线段AB绕某点逆时针旋转角得到的,点A与A对应,则角的大小为()A.30B.60C.90D.120C图Z6-10C3.一副含30和45角的三角板ABC和DEF叠合在一起,边BC与EF重合,BC=EF=12cm(如图Z6-11),点G为边BC(EF)的中点,边FD与AB相交于点H,现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转(如图),在CGF从0到60的变化过程中,观察点H的位置变化,点H相应移动的路径长为.(结果保留根号)图Z6-114.2018宿迁如图Z6-12,将含有30角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系中,顶点A,B分别落在x轴,y轴的正半轴上,OAB=60,点A的坐标为(1,0),将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向旋转60,再绕点C按顺时针方向旋转90,),当点B第一次落在x轴上时,点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是.图Z6-125.201
