《2021年考研数学(二)真题(含答案及解析)【可编辑】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年考研数学(二)真题(含答案及解析)【可编辑】（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021年全国硕士研究生招生考试数 学 (二)(科目代码：302)一、选择题(110小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)( 1 ) 当x0 时 ， 是x的( ).(A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小(C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小(2)函数 在 x=0 处( ).(A) 连续且取最大值 (B) 连续且取最小值(C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零(3)有 一 圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2 cm/s,-3cm/s,当底面半径为10 cm,高 为 5 cm 时，圆柱体的
2、体积与表面积随时间变化的速率分别为().(A)125 cm/s,40 cm/s (B)125cm/s,-40 cm/s(C)-100 cm/s,40 cm/s (D)-100 cm/s,-40 cm/s(4)设函数f(x)=ax-bln x(a0) 有两个零点，则 的取值范围是( ).(A)(e,+) (B)(0,e)(c) (5)设函数f(x)=secx 在 x=0 处 的 2 次 泰 勒 多 项 式 为 1 +ax+bx, 则( ).(6)设函数f(x,y) 可微，且f(x+1,e)=x(x+1),f(x,x)=2xlnx, 则df(1,1)=( ).(A)dx+dy (B)dxdy (C
3、)dy (D)dy2021年数学(二)试题 第 1 页 ( 共 4 页 )(7)设函数f(x) 在0,1上连续，则(8)设二次型f(x,x,x)=(x+x)+(x+x)-(x-x) 的正惯性指数与负惯性指数依次为( ).(A)2,0 (B)1,1 (C)2,1 (D)1,2(9)设3阶矩阵A =(,),B=(, ), 若向量组,可以由向量组 , ,线性表出，则( ).(A)AX=0 的解均为BX=0 的解(B)AX=0 的解均为BX=0 的解(C)BX= 0 的解均为AX=0 的解(D)BX=0 的解均为AX=0 的解(10)已知矩阵 ,若存在下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q, 使得PA
4、Q 为对角矩阵，则P,Q 分别可以取( ).(A)(C)。(B)(D).二、填空题(1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在题中的横线上.)(12) 设函数y =y(x)(13)设函数x=z(x,y)(14)已知函数(15)微分方程 y-y=0由参数方程 所确定，则由方程(x+1)z+ylnz-arctan 2xy=1确定，则, 则的通解为 (16)多项式 中 x3 项的系数为 2021年数学(二)试题 第 2 页 ( 共 4 页 )三、解答题(1721小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分10分)求极(18)(本题满分12分),求 f(x) 的凹
5、凸区间及渐近线.为 曲 线y=f(x)(4x9),L的弧长(19)(本题满分12分)设函数 f(x) 满，为s,L 绕 x 轴旋转一周所形成的曲面面积为A, 求 s 与 A.2021年数学(二)试题 第 3 页 ( 共 4 页 )满足微分方程xy-6y=-6,(20)(本题满分12分)设 y=y(x)(x0)(I) 求 y(x);()设P 为曲线y=y(x) 上的一点，曲线y=y(x) 为使 I, 最小，求 P 的坐标.且满足y(3)=10,在点P 的法线在y 轴上的截距为Ip,(21)(本题满分12分)曲线(x+y)=x-y(x0,y0)与x 轴围成的区域为D,(22)(本题满分12分)仅有
6、两个不同的特征值.若A 相似对角于对角矩阵，求常数a,b 的值，并求可逆矩阵P, 使得 P-AP 为对角矩阵.2021年数学(二)试题 第 4 页 ( 共 4 页 )2021 年数学(二)真题解析187 一 、选择题(1)【答案】 (C).【解】 :应选(C).(2)【答案】 (D).为x 的高阶无穷小，【解】 因 ,所以 f(a) 在x=0 处连续；得0,应选(D).(3)【答案】 (C).【解】 设圆柱体的底面半径为 r(t),高为h(t),且,圆柱体的体积为V(t)=rh, 表面积为 S(t)=2r+2rh ,: , -则 .代入r=10,h=5,( 得， 应选(C)., , ,(4)【
7、答案】 (A).【解】 因为 f(x)=ax-blnx 有两个零点，所以由罗尔定理，存在 c(0,+), 使得,从而b=ac0.令因为,为函数f(x)=ax-bln x 的极小值点，极小值为得,所以又f(0+0)=+,f(+)=+,所以f(x)=axblnx 有两个零点等价于， ),即应选(A).(5)【答案】 (D).【解】 f(x)=sec xtanx,f(0)=0,f”(x)=secxtanx+secx,f”(0)=1,应选(D).(6)【答案】 (C)【解】 f(x+1,e)=x(x +1) 两边对x 求导得f(x+1,e)+ef/(x+1,e)=(x+1)+2x(x+1), 188
8、取 x=0, f(x,x)=2得 f(1,1)+f(1,1)=1;xln x 两边对x 求导得f(x,x)+2xf(x,x)=4xlnx+2x,取 x=1, 得 f(1,1)+2fz(1,1)=2,解得 f/(1,1)=0,f(1,1)=1, 故 df(1,1)=dy, 应选(C).(7)【答案】 (B).应选(B).(8)【答案】 (B).【解】 由题可得f(x,xz,xg)=2x2+2xx+2xx+2xxg,由 得=- 1,=0,=3,应选 (B).(9)【答案】 (D)【解】 令 = k+k+k,=k+k+k,g=k+k+k若 BX=0, 从 而AX 。=KBX 。=0,即 BX=0 的
9、解均为AX=0 的解，应选(D).(10)【答案】 (C).【解】,(A) 不对；,(B) 不对；应选(C).二、填空题(11)【答案】【解】(12)【答案】【解】,189 (13)【答案】 1.【解】 当x=0,y=2 (x+1)x+ylnz-arct将 x=0 ,y=2,z=1(14)【答案】 时 ，z=1,an 2xy=1 两边对x 求偏导得代入【解】 改变积分次序得,则方法点评：直角坐标法计算二重积分时，若累次积分中表达式为如下形式时需要改变 积分次序：(1)a”e=dx;8 或.。为任意常数) .【解】 微分方程的特征方程为-1=0,特征根为;=1.a. 则方程的通解为 (16)【答案】1 -5.=(1-x)(4x+8)+(1+x)(3x-3)+xx(4x+8)-(x+4)(3x-3),整理得 x 项的系数为 一 5 .三、解答题(17) 【解】 方法一方法二190 得方法三由泰勒公式得e =1+t+o(t),从而
