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1、 广义能量守恒广义能量守恒 循环坐标与循环积分循环坐标与循环积分 广义动量守恒广义动量守恒 质点系的动能表达质点系的动能表达 第第6章章 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 结论和讨论结论和讨论 循环坐标与循环积分循环坐标与循环积分 第第6章章 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 循环坐标循环坐标循环坐标循环坐标 循环坐标与循环积分循环坐标与循环积分循环坐标与循环积分循环坐标与循环积分 N N个自由度质点系统在有势力场中的拉格朗日方程个自由度质点系统在有势力场中的拉格朗日方程个自由度质点系统在有势力场中的拉格朗日方程个自由度质点系统在有势力场中的拉格朗日方程(j=j=1,2
2、,1,2,N N)L LT TV V拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数 如果如果如果如果L L中不含某个广义坐标中不含某个广义坐标中不含某个广义坐标中不含某个广义坐标 则这个坐标称为循环坐标（可遗坐标）。则这个坐标称为循环坐标（可遗坐标）。则这个坐标称为循环坐标（可遗坐标）。则这个坐标称为循环坐标（可遗坐标）。由由由由n n个质点所个质点所个质点所个质点所组成的质点系组成的质点系组成的质点系组成的质点系q qi i是循环坐标，即有是循环坐标，即有是循环坐标，即有是循环坐标，即有 循环坐标与循环积分循环坐标与循环积分 循环积分循环积分循环积分循环积分拉格朗日方程成为拉格朗日方程成为
3、拉格朗日方程成为拉格朗日方程成为于是得到一个首次积分于是得到一个首次积分于是得到一个首次积分于是得到一个首次积分循环积分循环积分循环积分循环积分 广义动量守恒广义动量守恒 第第6章章 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 广义动量守恒广义动量守恒 广义动量广义动量广义动量广义动量广义动量广义动量广义动量广义动量 p pi i 定义为定义为定义为定义为广义动量为动能对广义速度的偏导数广义动量为动能对广义速度的偏导数广义动量为动能对广义速度的偏导数广义动量为动能对广义速度的偏导数广义动量广义动量广义动量广义动量 p pi i 是标量是标量是标量是标量 广义动量守恒广义动量守恒 广义动量守恒
4、广义动量守恒广义动量守恒广义动量守恒 有几个循环坐标，就有几个首次积分，也有几个循环坐标，就有几个首次积分，也有几个循环坐标，就有几个首次积分，也有几个循环坐标，就有几个首次积分，也就有几个广义动量积分（广义动量守恒）。就有几个广义动量积分（广义动量守恒）。就有几个广义动量积分（广义动量守恒）。就有几个广义动量积分（广义动量守恒）。广义动量守恒对应的物理意义是动量守恒广义动量守恒对应的物理意义是动量守恒广义动量守恒对应的物理意义是动量守恒广义动量守恒对应的物理意义是动量守恒和动量矩守恒。和动量矩守恒。和动量矩守恒。和动量矩守恒。例例 题题 1 广义动量守恒广义动量守恒质点的抛射运动质点的抛射运
5、动质点的抛射运动质点的抛射运动 因为因为因为因为 L L 不含不含不含不含 x x,y y,所以所以所以所以 x x,y y是循环坐标，得是循环坐标，得是循环坐标，得是循环坐标，得到两个方向动量守恒到两个方向动量守恒到两个方向动量守恒到两个方向动量守恒例例 题题 2 质点的有心运动质点的有心运动质点的有心运动质点的有心运动 广义动量守恒广义动量守恒 极坐标下拉格朗日函数为极坐标下拉格朗日函数为极坐标下拉格朗日函数为极坐标下拉格朗日函数为 是循环坐标，循环积分为是循环坐标，循环积分为是循环坐标，循环积分为是循环坐标，循环积分为 动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒 质点系的动能表达质点系的动
6、能表达 第第6章章 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 N N个自由度个自由度个自由度个自由度 由由由由n n个质点所个质点所个质点所个质点所组成的质点系组成的质点系组成的质点系组成的质点系广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 第第第第i i个质个质个质个质点的位矢点的位矢点的位矢点的位矢 质点系的动能表达质点系的动能表达 第第第第i i个质点的速度矢量个质点的速度矢量个质点的速度矢量个质点的速度矢量速度的平方速度的平方速度的平方速度的平方 质点系的动能表达质点系的动能表达 第第第第i i个质点的速度矢量个质点的速度矢量个质点的速度矢量个质点的速度矢量 质点系的动能表达质点系的动能表达动
7、能动能动能动能 质点系的动能表达质点系的动能表达所以所以所以所以其中其中其中其中是是是是的函数，的函数，的函数，的函数，当当当当 r ri i 不显含时间不显含时间不显含时间不显含时间 t t，T T0 0=T T1 1=0=0，动能动能动能动能 质点系的动能表达质点系的动能表达分别是零次、一次和二次齐式分别是零次、一次和二次齐式分别是零次、一次和二次齐式分别是零次、一次和二次齐式对广义速度对广义速度对广义速度对广义速度来说，来说，来说，来说，广义速度的二次齐式广义速度的二次齐式广义速度的二次齐式广义速度的二次齐式 动能齐次式的性质动能齐次式的性质动能齐次式的性质动能齐次式的性质 质点系的动能
8、表达质点系的动能表达求导数后得：求导数后得：求导数后得：求导数后得：所以所以所以所以 质点系的动能表达质点系的动能表达 证明：证明：证明：证明：设设设设为为为为k k个广义速度的个广义速度的个广义速度的个广义速度的h h次齐次函数，若以次齐次函数，若以次齐次函数，若以次齐次函数，若以 将上式对将上式对将上式对将上式对 求导，得求导，得求导，得求导，得 令令令令 =1=1，则有，则有，则有，则有 质点系的动能表达质点系的动能表达 证毕证毕证毕证毕 广义能量守恒广义能量守恒 第第6章章 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 由由由由n n个质点所个质点所个质点所个质点所组成的质点系组成的质
9、点系组成的质点系组成的质点系 N N 个自由度质点系统在有势力场中个自由度质点系统在有势力场中个自由度质点系统在有势力场中个自由度质点系统在有势力场中的拉格朗日方程的拉格朗日方程的拉格朗日方程的拉格朗日方程(j=j=1,2,1,2,N N)势函数势函数势函数势函数势函数势函数V V V与广义速度与广义速度与广义速度与广义速度与广义速度与广义速度无关，所以无关，所以无关，所以无关，所以无关，所以无关，所以 广义能量守恒广义能量守恒 广义能量守恒广义能量守恒 目的：寻求广义能量守恒的条件目的：寻求广义能量守恒的条件目的：寻求广义能量守恒的条件目的：寻求广义能量守恒的条件 利用拉格朗日方程，上式右端
10、第二项成为利用拉格朗日方程，上式右端第二项成为利用拉格朗日方程，上式右端第二项成为利用拉格朗日方程，上式右端第二项成为 广义能量守恒广义能量守恒 上式代入到第一式中，得到上式代入到第一式中，得到上式代入到第一式中，得到上式代入到第一式中，得到 广义能量守恒广义能量守恒 移项后得：移项后得：移项后得：移项后得：上式左端括号中的项称为上式左端括号中的项称为上式左端括号中的项称为上式左端括号中的项称为广义能量广义能量广义能量广义能量，记为，记为，记为，记为h h 广义能量守恒广义能量守恒广义能量：广义能量：广义能量：广义能量：代入代入代入代入得到：得到：得到：得到：广义能量守恒广义能量守恒 广义能量
11、和广义能量对时间广义能量和广义能量对时间广义能量和广义能量对时间广义能量和广义能量对时间的的的的化率分别为化率分别为化率分别为化率分别为 如果如果如果如果 则得到广义能量积分则得到广义能量积分则得到广义能量积分则得到广义能量积分 广义能量守恒广义能量守恒 如果拉格朗日函数如果拉格朗日函数 L不显含时间不显含时间 t,那末广那末广义能量义能量 h守恒。守恒。对于定常系统，对于定常系统，对于定常系统，对于定常系统，T T0 0=0,=0,T T=T T2 2 广义能量积分广义能量积分广义能量积分广义能量积分 机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒 解：解：解：解：建立坐标轴建立坐标轴建立坐标轴建
12、立坐标轴 xOyxOy,=t t,质点的坐标为质点的坐标为质点的坐标为质点的坐标为例例例例 题题题题 3 3 广义能量守恒广义能量守恒y y O Om mx x a a 半径为半径为半径为半径为 a a 的圆环以匀角速度的圆环以匀角速度的圆环以匀角速度的圆环以匀角速度 绕绕绕绕 O O 轴在水平面内运动，环轴在水平面内运动，环轴在水平面内运动，环轴在水平面内运动，环上有一质量为上有一质量为上有一质量为上有一质量为mm的质点。的质点。的质点。的质点。求求求求 质点运动微分方程的首次积分质点运动微分方程的首次积分质点运动微分方程的首次积分质点运动微分方程的首次积分 约束方程是约束方程是约束方程是约
13、束方程是 约束方程显含时间约束方程显含时间约束方程显含时间约束方程显含时间t t,所以是非定常系统所以是非定常系统所以是非定常系统所以是非定常系统例例例例 题题题题 3 3 广义能量守恒广义能量守恒y y O Om mx x a a 因为因为因为因为V V=0=0，所以拉格朗日函数所以拉格朗日函数所以拉格朗日函数所以拉格朗日函数L L=T T 因为因为因为因为L L中无循环坐标中无循环坐标中无循环坐标中无循环坐标 ，所以没有广义动量积分，所以没有广义动量积分，所以没有广义动量积分，所以没有广义动量积分，但但但但 L L 中不显含时间中不显含时间中不显含时间中不显含时间 t t,所以存在广义能量
14、积分所以存在广义能量积分所以存在广义能量积分所以存在广义能量积分其中其中其中其中例例例例 题题题题 3 3 广义能量守恒广义能量守恒y y O Om mx x a a由此得：由此得：由此得：由此得：质点的广义能量守恒，但是机械能不守恒。质点的广义能量守恒，但是机械能不守恒。质点的广义能量守恒，但是机械能不守恒。质点的广义能量守恒，但是机械能不守恒。第第6章章 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 结论和讨论结论和讨论 结论和讨论结论和讨论 对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式对于
15、保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。步简化。步简化。步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：循环积分、能保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：循环积分、能保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：循环积分、能保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：循环积分、能量积分。量积分。量积分。量积分。一、循环积分一、循环积分一、循环积分一、循环积分 如果拉格朗日函数如果拉格朗日函数如果拉格朗
16、日函数如果拉格朗日函数L L中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标 q qr r ,则该坐标则该坐标则该坐标则该坐标称为保守系统的称为保守系统的称为保守系统的称为保守系统的循环坐标或可遗坐标循环坐标或可遗坐标。广义动量守恒（包含动量或动量矩守恒）广义动量守恒（包含动量或动量矩守恒）广义动量守恒（包含动量或动量矩守恒）广义动量守恒（包含动量或动量矩守恒）结论和讨论结论和讨论二、广义能量积分二、广义能量积分二、广义能量积分二、广义能量积分 设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L L=T T-V V 中不显含时间中不显含时间中不显含时间中不显含时间t t，则则则则广义能量守恒广义能量守恒广义能量守恒广义能量守恒 对于定常系统，对于定常系统，对于定常系统，对于定常系统，T T0 0 =0,=0,T T=T T2 2 机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒 结论和讨论结论和讨论 一个系统的广义能量积分只可能有一一个系统的广
